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Algorithme et fonction ln

Posté par
alggie 15-02-19 à 14:59

Bonjour, voici un exercice que je n'arrive pas à résoudre :

On considère l'algorithme suivant :

Entrée : a (1<a<20)
Entrée n un entier naturel

Dans U mettre a
Pour I de 1 à n
Dans U mettre \sqrt U
Fin de la boucle Pour

Dans V mettre U-1

Pour I de 1 à n
Dans V mettre 2 \times V
Fin de la boucle Pour

Afficher V

1. Faire fonctionner cet algorithme à la main pour a=16 et n=4.

Là, pas de problèmes.

2. Implémenter cet algorithme sur une calculatrice et le faire fonctionner pour n=10 avec a=8 puis avec a=1,234. Comparer avec \ln a. Que remarque-t-on ?

Je remarque que \ln a est proche de V.

3. Exprimer \ln U en fonction de \ln a. Sachant que -\frac {(x-1)²}{2}<=\ln x-(x-1)<=0 et que la valeur absolue de \ln x-(x-1) est inférieure ou égale à \frac {(x-1)²}{2}, déduire que la valeur absolue de \ln a-V est inférieure ou égale à (U-1)²\times 2^{n-1}. Ici, U désigne le contenu de la variable U à la fin de la 1ère boucle et V le contenu de V à la fin de la 2ème boucle.

Je bloque à partir de cette question. J'ai l'impression d'avoir tout essayé mais je n'arrive pas à exprimer ln U en fonction de ln a.

4. Avec n=15 et a=2, l'algorithme donne U-1\approx 0,0000211534 à la fin de la première boucle et la partie A prouve que la valeur absolue de \ln U-(U-1)<3,0 \times 10^{-10}. Expliquer pourquoi la valeur de V affichée à la sortie de l'algorithme vérifie alors l'inégalité valeur absolue de \ln 2-V est inférieure à 10^{-5}. Donner V et une valeur approchée de ln 2 donnée par une calculatrice.

5. Le nombre a, supérieur à 1, étant donné, on peut considérer que les variables U de cet algorithme sont les premiers termes d'une suite et démontrer qu'elle converge vers 1, on l'admet ici. On peut donc obtenir que U soit aussi proche de 1 que l'on souhaite. Modifier l'algorithme en rajoutant une condition pour que 0<=U-1<=10^{-8} et simplifier le en évitant d'utiliser la 2ème boucle.

Voilà... je suis un peu perdue...

Merci de votre aide

Posté par
alggiere : Algorithme et fonction ln 15-02-19 à 15:00

Pour l'erreur, c'est : \frac {(x-1)²}{2}

Posté par
alggiere : Algorithme et fonction ln 15-02-19 à 15:09

alggie @ 15-02-2019 à 14:59

B
3. Exprimer \ln U en fonction de \ln a. Sachant que -\frac {(x-1)²}{2}<=\ln x-(x-1)<=0 et que la valeur absolue de \ln x-(x-1) est inférieure ou égale à \frac {(x-1)²}{2}, déduire que la valeur absolue de \ln a-V est inférieure ou égale à (U-1)²\times 2^{n-1}. Ici, U désigne le contenu de la variable U à la fin de la 1ère boucle et V le contenu de V à la fin de la 2ème boucle.

Je bloque à partir de cette question. J'ai l'impression d'avoir tout essayé mais je n'arrive pas à exprimer ln U en fonction de ln a.

Je vois par contre que \frac {\ln a}{\ln U}=constante.


Posté par
lakere : Algorithme et fonction ln 15-02-19 à 17:13

Bonjour,

Tu peux montrer que U=a^{\frac{1}{2^n}} et que V=2^n(U-1)

Posté par
lakere : Algorithme et fonction ln 15-02-19 à 17:25

Pour approfondir le sujet: Défiition d' une application.

Posté par
alggiere : Algorithme et fonction ln 17-02-19 à 12:12

lake @ 15-02-2019 à 17:13

Bonjour,

Tu peux montrer que U=a^{\frac{1}{2^n}} et que V=2^n(U-1)



Bonjour ☻ Tout d'abord, merci de votre réponse.

J'ai montré que, d'après l'algorithme, on a : U=\sqrt a. Soit : U=a^{\frac 1 2}. Or, cette opération est répétée n fois. D'où : U=a^{\frac {1} {2^n}.

Et donc : \ln U=\ln {a^{\frac {1} {2^n}}}.

Par contre, je n'arrive pas à montrer que V=2^n(U-1) même si, effectivement, V=U-1 répété n fois (d'après l'algorithme).

Merci de votre aide

Posté par
lakere : Algorithme et fonction ln 17-02-19 à 15:12

Citation :
Et donc : \ln U=\ln {a^{\frac {1} {2^n}}}.


Oui et donc \ln\,a=2^n\ln\,U

Voyons, dans ta deuxième boucle, V est initialisé avec pour valeur U-1 où U est la valeur calculée par la première boucle (soit a^{\frac{1}{2^n}})

Ensuite, on multiplie n fois cette valeur par 2. Au final, on l'a multipliée par 2^n si bien que V prend la valeur 2^n(U-1)

Du coup, |\ln\,a-V|=|2^n\ln\,U-2^n(U-1)|=2^n|\ln\,U-(U-1)|

tu dois commencer à voir le lien avec:

  
Citation :
Sachant que -\frac {(x-1)²}{2}<=\ln x-(x-1)<=0 et que la valeur absolue de \ln x-(x-1) est inférieure ou égale à \frac {(x-1)²}{2}, déduire que la valeur absolue de \ln a-V est inférieure ou égale à (U-1)²\times 2^{n-1}.


Posté par
alggiere : Algorithme et fonction ln 18-02-19 à 10:17

lake @ 17-02-2019 à 15:12



tu dois commencer à voir le lien avec:

  
Citation :
Sachant que -\frac {(x-1)²}{2}<=\ln x-(x-1)<=0 et que la valeur absolue de \ln x-(x-1) est inférieure ou égale à \frac {(x-1)²}{2}, déduire que la valeur absolue de \ln a-V est inférieure ou égale à (U-1)²\times 2^{n-1}.




Merci !!! J'ai réussi à montrer que |\ln a-V|<=(U-1)²\times 2^{n-1}.

Par contre, pour la question 4, faut-il que je calcule la valeur de |\ln 2-V| pour montrer qu'elle est inférieure à 10^{-5} ou vaut-il mieux que j'utilise les expressions déjà démontrées ? (Le problème quand je fais ça, c'est que je ne tombe jamais directement sur 10^{-5}).

Merci infiniment !

Posté par
lakere : Algorithme et fonction ln 18-02-19 à 21:21

Il faut donc calculer 2^{n-1}(U-1)^2 avec n=15 et par exemple U-1=2.2\times 10^{-5} (je choisis une valeur plus grande que celle donnée pour U-1)

Tu obtiendras un majorant de l'erreur qui sera plus petit que 10^{-5}

Tu auras donc prouvé que |\ln\,2-V|\leq 10^{-5}

Posté par
alggiere : Algorithme et fonction ln 19-02-19 à 09:39

lake @ 18-02-2019 à 21:21

Il faut donc calculer 2^{n-1}(U-1)^2 avec n=15 et par exemple U-1=2.2\times 10^{-5} (je choisis une valeur plus grande que celle donnée pour U-1)

Tu obtiendras un majorant de l'erreur qui sera plus petit que 10^{-5}

Tu auras donc prouvé que |\ln\,2-V|\leq 10^{-5}



Merci beaucoup!

J'ai deux dernières questions :

Déjà, pourquoi choisit-on une valeur de U  plus grande que celle donnée pour U-1 ? On ne peut pas utiliser : U=a^{\frac {1}{2^n}} ?

Ensuite, je viens de modifier l'algorithme, cela vous semble-t-il juste ?

Entrée a 1<a<20
Entrée n entier naturel

Dans U mettre a
Tant que U-1>=10^{-8}
Dans U mettre racine carrée de U
Fin de la boucle Tant que
Dans V mettre 2^n(U-1)

Afficher V


Merci de votre aide

Posté par
lakere : Algorithme et fonction ln 19-02-19 à 11:06

Rapidement, je n'ai pas trop le temps:

Citation :
Déjà, pourquoi choisit-on une valeur de U-1  plus grande que celle donnée pour U-1 ? On ne peut pas utiliser : U=a^{\frac {1}{2^n}} ?


A vrai dire, on peut même faire plus simple compte tenu de l'énoncé:

  
Citation :
4. Avec n=15 et a=2, l'algorithme donne U-1\approx 0,0000211534 à la fin de la première boucle et[u] la partie A prouve que la valeur absolue de \ln U-(U-1)<3,0 \times 10^{-10}. Expliquer pourquoi la valeur de V affichée à la sortie de l'algorithme vérifie alors l'inégalité valeur absolue de \ln 2-V est inférieure à 10^{-5}. Donner V et une valeur approchée de ln 2 donnée par une calculatrice.


On sait que:

    |\ln\,a-V|=2^n|\ln\,U-(U-1)|

et avec les valeurs données, on a:

  |\ln\,2-V|\leq 2^{15}\times 3\times 10^{-10}\leq  10^{-5}

Ton algorithme modifié me semble correct.



  


  

Posté par
alggiere : Algorithme et fonction ln 19-02-19 à 14:05

Super, merci beaucoup de votre aide


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