Bonsoir, j'aurais besoin de l'aide pour finir cet exercice.
Voici l'énoncé:
Citation :On considère l'algorithme suivant:
Entrée a (1 < a < 20)
Entrée n (entier naturel)
Dans U mettre a
Pour I de 1 à n
Dans U mettre racine carée de U
Fin de la boucle Pour
Dans V mettre U-1
Pour I de 1 à n
Dans V mettre 2*V
Fin de la boucle Pour
Afficher V
1) Faire fonctionner cet algorithme "à la main" pour a=16 et n=4
2) Implémenter cet algorithme sur une calculatrice (ou un tableur). Le faire fonctionner pour n = 10 avec a=8 puis avec a=1,234. Comparer avec lna. Qu'observe-ton ?
3) Exprimer lnU en fonction de lna. En utilisant le résultat de la question A 3)**, en déduire que |lna − V| ≤ (U−1)
2 
2
n-1. Ici, U désigne le contenu de la variable U à la fin de la 1re boucle et V le contenu de V à la fin de la 2e boucle.
**La question A 3) établit que pour tout x supérieur à 1, |lnx - (x-1)|

(x-1)
2 / 2
4) Avec n = 15 et a = 2, l'algorithme donne U−1≈ 0,0000211534 à la fin de la première boucle et la
partie A prouve que |lnU−(U−1)| < 3

10
-10. Expliquer pourquoi la valeur de V affichée à la sortie
de l'algorithme vérifie alors l'inégalité |ln2 - V| < 10
-5 . Donner V et une valeur approchée de ln2 donnée par une calculatrice.
5) Le nombre a, supérieur à 1, étant donné, on peut considérer que les variables U de cet algorithme sont les premiers termes d'une suite et démontrer qu'elle converge vers 1, on l'admet ici. On peut donc obtenir que U soit aussi proche de 1 que l'on souhaite.
Modifier l'algorithme en rajoutant une condition pour que 0 ≤U−1≤ 10
-8 et simplifier-le en évitant
d'utiliser la deuxième boucle.
Où j'en suis:
1) J'ai fait fonctionner l'algorithme à la main et j'ai trouvé V=3,02731 pour a=16 et n=4.
2) J'ai implémenté l'algorithme sur Algobox. Pour n=10 et a=8 j'ai trouvé V

2,08. Pour n=10 et a=1,234 j'ai trouvé V

0,21
En les comparant avec lna on a ln8

2,08 et ln(1,234)

0,21. Donc on observe qu'à la fin de l'algorithme, V

lna quand n=10
3) On sait que U=a
1/2n
lnU = ln(a
1/2n)
lnU = (1/2)
n * lna
Pour en déduire l'inéquation j'ai commencé:
|lnx - (x-1)|

(x-1)
2 / 2
|lnU - (U-1)|

(U-1)
2 / 2
|(1/2)
n*lna - (V / 2
n)|

(U-1)
2 / 2
|lna - (V / 2
n)|

( (U-1)
2 / 2 ) * 2
n
|lna - V|

( (U-1)
2 / 2 ) * 2
2n
|lna - V|

( (U-1)
2 ) * 2
2n * 2
-1
|lna - V|

( (U-1)
2 ) * 2
2n-1
Je n'arrive pas à en déduire l'inéquation correcte; mais presque, seulement il me faut enlever ce 2 de l'exponant à la fin. Comment fais-je ?
Et jusqu'ici je suis arrivé. J'ai déjà essayé le reste plusieurs fois mais je n'arrive pas.
Merci beacoup!