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Algorithme et logarithme népérien

Posté par
Albin62
18-01-15 à 17:49

Bonsoir, j'aurais besoin de l'aide pour finir cet exercice.

Voici l'énoncé:

Citation :
On considère l'algorithme suivant:

Entrée a (1 < a < 20)
Entrée n (entier naturel)

Dans U mettre a
Pour I de 1 à n
                 Dans U mettre racine carée de U
Fin de la boucle Pour

Dans V mettre U-1
Pour I de 1 à n
                  Dans V mettre 2*V
Fin de la boucle Pour

Afficher V


1) Faire fonctionner cet algorithme "à la main" pour a=16 et n=4

2) Implémenter cet algorithme sur une calculatrice (ou un tableur). Le faire fonctionner pour n = 10 avec a=8 puis avec a=1,234. Comparer avec lna. Qu'observe-ton ?

3) Exprimer lnU en fonction de lna. En utilisant le résultat de la question A 3)**, en déduire que |lna − V| ≤ (U−1)2 2n-1. Ici, U désigne le contenu de la variable U à la fin de la 1re boucle et V le contenu de V à la fin de la 2e boucle.
**La question A 3) établit que pour tout x supérieur à 1, |lnx - (x-1)| (x-1)2 / 2

4) Avec n = 15 et a = 2, l'algorithme donne U−1≈ 0,0000211534 à la fin de la première boucle et la
partie A prouve que |lnU−(U−1)| < 310-10. Expliquer pourquoi la valeur de V affichée à la sortie
de l'algorithme vérifie alors l'inégalité |ln2 - V| < 10-5 . Donner V et une valeur approchée de ln2 donnée par une calculatrice.

5) Le nombre a, supérieur à 1, étant donné, on peut considérer que les variables U de cet algorithme sont les premiers termes d'une suite et démontrer qu'elle converge vers 1, on l'admet ici. On peut donc obtenir que U soit aussi proche de 1 que l'on souhaite.
Modifier l'algorithme en rajoutant une condition pour que 0 ≤U−1≤ 10-8 et simplifier-le en évitant
d'utiliser la deuxième boucle.


Où j'en suis:

1) J'ai fait fonctionner l'algorithme à la main et j'ai trouvé V=3,02731 pour a=16 et n=4.

2) J'ai implémenté l'algorithme sur Algobox. Pour n=10 et a=8 j'ai trouvé V2,08. Pour n=10 et a=1,234 j'ai trouvé V0,21
En les comparant avec lna on a ln82,08 et ln(1,234)0,21. Donc on observe qu'à la fin de l'algorithme, Vlna quand n=10

3) On sait que U=a1/2n
lnU = ln(a1/2n)
lnU = (1/2)n * lna

Pour en déduire l'inéquation j'ai commencé:
|lnx - (x-1)| (x-1)2 / 2
|lnU - (U-1)| (U-1)2 / 2
|(1/2)n*lna - (V / 2n)| (U-1)2 / 2
|lna - (V / 2n)| ( (U-1)2 / 2 ) * 2n
|lna - V| ( (U-1)2 / 2 ) * 22n
|lna - V| ( (U-1)2 ) * 22n * 2-1
|lna - V| ( (U-1)2 ) * 22n-1

Je n'arrive pas à en déduire l'inéquation correcte; mais presque, seulement il me faut enlever ce 2 de l'exponant à la fin. Comment fais-je ?

Et jusqu'ici je suis arrivé. J'ai déjà essayé le reste plusieurs fois mais je n'arrive pas.

Merci beacoup!

Posté par
Hiphigenie
re : Algorithme et logarithme népérien 19-01-15 à 06:44

Bonjour Albin62

Pour la question 3,

|\ln U-(U-1)|\leq \dfrac{(U-1)^2}{2}\\\\|\dfrac{1}{2^n}\times \ln a-(a^{\dfrac{1}{2^n}}-1)|\leq \dfrac{(a^{\dfrac{1}{2^n}}-1)^2}{2}

Multiplions les deux membres par  2^n(>0)

|\ln a-2^n(a^{\dfrac{1}{2^n}}-1)|\leq 2^n\dfrac{(a^{\dfrac{1}{2^n}}-1)^2}{2}

|\ln a-2^n(a^{\dfrac{1}{2^n}}-1)|\leq \dfrac{2^n}{2}\times (a^{\dfrac{1}{2^n}}-1)^2

|\ln a-V|\leq 2^{n-1}\times (U-1)^2



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