Bonjour, je viens d'entrer en Terminale S et notre professeur nous a donné un DM de maths sur les suites récurrentes. Le dernier exercice se base sur l'algorithme en pièce jointe.

Exercice 4 :
U₀ = 13
U_n+1 = 1/5u_n + 4/5

1) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u_n = 1 + 12 x (1/5)ⁿ
    En déduire le sens de variation de u_n. (Pour le sens de variation, je ne suis pas sûr que ce soit la meilleure méthode, donc si vous pouvez m'en   proposer d'autres, je suis preneur )
Voici ce que j'ai fait :
Initialisation : Pour n = 0, on a u₀ = 1 + 12 x 1 = 13. Pour n = 0, la proposition est donc vraie.
Hérédité : Supposons que u_n = 1 + 12 x (1/5)ⁿ .
Démontrons que u_n+1 = 1 + 12 x (1/5)ⁿ⁺¹ .
u_n+1 = 1/5u_n + 4/5
   = (1/5)(1+12x(1/5)ⁿ) + 4/5
   = 1/5 + 12 x 1/5 x (1/5)ⁿ + 4/5
   = 1 + 12 x (1/5)ⁿ⁺¹
u_n+1 = 1 + 12 x (1/5)ⁿ⁺¹ d'où, selon le théorème de récurrence, u_n = 1 + 12 x (1/5)ⁿ .

Lim (1/5)ⁿ = 0
n



Lim 1 + 12 x (1/5)ⁿ = 0 u_n est décroissante.
n

Autre méthode : Dérivée
U_n est une suite explicite, d'où u_n = f(n).
f(n) = 1 + 12 x (1/5)ⁿ
f'(n) = 12 x n x (1/5)^n-1 Or,
Lim (1/5)ⁿ = 0 (1/5)ⁿ est décroissante, d'où 1 + 12 x (1/5)ⁿ est décroissante
n

Voilà pour le petit 1.

2) Soit l'algorithme ci-contre (pièce jointe). Faire fonctionner cet algorithme avec N = 2, puis N = 4. Que représentent les variables U et S? Quel est le rôle de cet algorithme?
La variable U représente u_k. A chaque "tour" de l'algorithme, K K+1 d'où U prend la valeur u_k+1.
La variable S représente u_n + u_n+1/

Je ne parviens pas, en revanche, à trouver le rôle de l'algorithme. Si vous avez des idées, n'hésitez pas à partager!