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Algorithme valeur de Alpha

Posté par
ThomasG
06-03-15 à 18:46

Bonjour !
Je rencontre des difficultés dans un exercice de maths pour une des question qui consiste à faire un algorithme.

Un+1=24/ln(Un) avec U0=9
et f(x)=24/ln(x)
Dans les questions précédentes on a montrer que
- U1=24/ln(9)
- Un convergeait vers un nombre Alpha qui semblait valoir 10.3 (<- approximation sur un graphique).
- Alpha est solution de g(x)=24 avec g(x)=xln(x).
- Par balayage du tableau de valeur on trouve Alpha=10.2936 à 10^-4 près.
----> Je penses que jusqu'à la mes réponses sont justes...

Question sur la quelle je bloque :
'' Une autre méthode de recherche de Alpha consiste à approcher Alpha à l'aide d'un algorithme.
Compléter cet algorithme suivant et l'appliquer pour déterminer le plus petit entier naturel n tel que Un soit une valeur approchée de Alpha à 10^-4 près.
U[0]= ...                                <--- La j'ai mis 9
U[1]= ...                                <--- La j'ai mis 24/ln(9)
n=0
Saisir (p)
Tantque (abs (u[n+1]- ... )) > p faire  <----- La je ne sais pas du tout ! Je dirais x ?
n=n+...                                 <--- La j'ai mis 1
U[n+1]= ...                             <--- La j'ai mis 24/ln(U[n]) ''

Ensuite pour l'appliquer j'ai choisi de le faire su algobox. Sauf que comme la suite est défini par récurrence je ne sais as du tout comment m'y prendre. Je met juste U ?
Mais du coup les deux première lignes je doit mettre
U=9
U=24/ln9 ?!
Ca n'as aucun sens ...

Posté par
Glapion Moderateur
re : Algorithme valeur de Alpha 06-03-15 à 19:15

Donc tu as compris que l'on se servait de la suite qui converge vers alpha.
Algorithme valeur de Alpha
U = 9
n = 0
saisir p
TantQue (abs (U-10.2936 )) > p
n = n+1
U = 24/ln(U)
fin TantQue
afficher n

Posté par
ThomasG
re : Algorithme valeur de Alpha 06-03-15 à 19:27

On cherche Alpha par une autre méthode et pourtant dans l'algorithme vous mettez la valeur de Alpha alors que c'est ce dont on chercher a trouver non ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Algorithme valeur de Alpha 06-03-15 à 19:32

non on ne cherche pas alpha, la limite tu l'as déjà.
l'algorithme sert à trouver pour quelle valeur de n on se rapproche de cette limite à moins de 10-4.

si on avait voulu calculer la limite, il aurait fallu écrire un truc comme ça :

U = 9
Pour I = 1 to 100
U = 24/ln(U)
finPour
afficher U

Posté par
mathafou Moderateur
re : Algorithme valeur de Alpha 06-03-15 à 20:12

Bonjour,

"la limite tu l'as ..." hum

l'algorithme proposé n'est pas basé sur la valeur de la limite (à priori inconnue, seulement conjecturée et en valeur approchée) mais sur le fait que deux termes successifs sont éloignés de moins de 10-4

pour traduire ça sur algobox, soit on mémorise tous les termes dans une liste (beurk)
(U de type LISTE sur algobox)
ce qui permet de traduire quasiment directement (à part quelques virgules de syntaxe) l'algorithme initial en Algobox

U[0] prend_la_valeur 9
U[1] prend_la_valeur U[0]/ln(U[0]) (plus propre que de mettre directement une valeur "quasiment calculée à la main")
etc

mais "il faut espérer" qu'on ne devra pas calculer trop de termes parce que la taille de la variable liste va gonfler démesurément et inutilement !!

en pratique on opère comme suit :

on prend deux variables
la variable U = l'élément courant de la liste
la variable V = l'élément précédent

donc au départ :

V prend_la_valeur 9 (donc U0)
U prend_la_valeur V/ln(V) (c'est à dire U1)
n prend_la_valeur 1 (on a bien la variable U = le terme U1 de la suite)
boucle tant que test sur abs(U-V)
V prend_la_valeur U (l'ancien élément courant devient l'élément précédent pour la suite)
U prend_la_valeur V/ln(V) (et U le nouvel élément courant)

etc (comptage des éléments etc à ajouter, ici omis pour plus de clarté sur la structure du programme)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Algorithme valeur de Alpha 06-03-15 à 20:15

"de moins de 10-4"
lire :
"de moins de la précision p demandée" (on peut saisir p = 0.00000001 pour avoir à 10-8 par exemple)

Posté par
ThomasG
re : Algorithme valeur de Alpha 06-03-15 à 20:55

Bon en faisant l'algorithme que m'as proposé Glapsion j'obtient :
***Algorithme lancé***
Entrer P : 0.0001
12
10.293618
***Algorithme terminé***

Les resultats me semblent convenable cependant de je ne suis pas sûre que l'on doit utiliser la valeur de Alpha dans cet algorithme.
Et l'algorithme que vous proposez mathafou ne correspond pas à celui a trous qui doit être transcrit dans le langage Algobox car il y a une variable en trop :/

Posté par
mathafou Moderateur
re : Algorithme valeur de Alpha 06-03-15 à 21:06

pfff tu lis et comprends ce que j'écris ?

soit tu traduis "bêtement" l'algorithme à trou avec une variable U DE TYPE LISTE
avec ses centaines, milliers etc de variables internes "'planquées" (U[0] est une variable, U[1] une autre, U[2] encore une autre etc en mémoire si on s'arrête à n= 1000 on aura en interne 1000 "variables" regroupées et planquées dans la variable de type liste)
c'est réellement ça que fait l'algorithme initial

rien ne t'empêche de le coder ainsi (avec U de type LISTE et traduction "mot à mot" de l'algorithme initial sur algobox, les U[n] inclus écrits comme ça et pas seulement "U")


je te proposais de remplacer cet algorithme gaspilleur par un qui n'utilise réellement que deux variables U (de type nombre simple) et V (aussi)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Algorithme valeur de Alpha 06-03-15 à 21:09

le problème avec l'algorithme de Glapion est que si on demande p = 0.0000001 au lieu de 0.0001 seulement, ça ne marchera pas à cause de la valeur "approximative" de alpha mise "en dur" à la main dans l'algorithme

et de toute façon, lui non plus ne correspond pas à l'algorithme à trou initial, hein

Posté par
ThomasG
re : Algorithme valeur de Alpha 06-03-15 à 21:33

Merci beaucoup, il fonctionne comme cela aussi ! Simplement je ne comprends pas bien pourquoi on doit mettre
Tantque U[N+1]-U[N]>p

Posté par
Tonio1804
re : Algorithme valeur de Alpha 06-03-15 à 21:38

La suite converge donc à partir d'un certain moment la différence entre Un+1 et Un devient minime.
Donc il faut choisir p le plus petit possible pour pouvoir obtenir une valeur approchée de alpha mais précise (enfin le plus possible)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Algorithme valeur de Alpha 06-03-15 à 21:42

il manque et c'est fondamental !! le abs()
Tantque (abs(UN+1]-U[N]) > p)

parce que à moins de l'avoir étudiée, rien ne dit que la suite Un soit monotone et que on a toujours Un+1 > Un

donc on calcule la valeur absolue de la différence entre deux termes consécutifs
tant que cette quantité est plus grande que la précision demandée (p) on continue à boucler
et on s'arrête quand cette différence devient < p


c'est comme ça qu'on écrit un tant que : tant que on n'a pas fini etc
ici tant que l'écart entre deux termes successifs est "trop grand" (est encore > p) on continue

Posté par
ThomasG
re : Algorithme valeur de Alpha 06-03-15 à 21:43

D'accord !
Oui oui en plus la première question était de démontrer que la suite n'était pas monotone.
Merci pour tout j'ai bien compris maintenant !



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