Bonjour,

La seconde partie est juste, mais pas la première :

x appartient à Ker(u²), donc u.u(x) = 0, donc u(x) appartient à Ker(u), mais tu n'en déduis pas immédiatement que x appartient à Ker(u)...

D'ailleurs, quelque chose devrait t'agacer : tu n'as jamais utilisé la propriété spécifique de l'endo, u^3 + u² + u = 0. Et je peux te dire que c'est justement elle qui va te permettre de démontrer l'inclusion dans ce sens-la...

je me disais aussi
Daccord mais comment l'utlisé aussi ?

Pour tout x tu as :
u^3(x) + u²(x) + u(x) = 0

pour tour x appartenant à ker(u²), tu as u²(x) = 0
donc u(u²(x)) = u^3(x) = 0

En réinjectant u²(x) = 0 et u^3(x) = 0 dans l'équation u^3(x) + u²(x) + u(x) = 0,
il te reste u(x) = 0, donc x appartient à Ker(u)
Donc Ker(u²) Ker(u)

Ok merci
il faut prouver maintenan que
Donc Im(u²) =  Im (u)
soit y apartenant à Im(u²) il existe un x tel que ff(x) = y

Mais après jarrive pas à aller plus loin :

Dans un sens, c'est évident :
y appartient à Im(u²), donc il existe x tel que y = u²(x), donc y = u(u(x)), donc y appartient à Im(u)

Dans l'autre sens, je n'ai de réponse qu'en dimension finie, avec le théorème du rang :
tu as :
dim(Ker(u)) + dim(Im(u)) = dim(E)
mais aussi :
dim(Ker(u²)) + dim(Im(u²)) = dim(E)
Tu as démontré à la première question que Ker(u) = Ker(u²), tu en déduis que
dim(Im(u)) = dim(Im(u²))
Et, puisque Im(u) et Im(u²) sont des espaces vectoriels de dimension finie, le fait que l'un soit inclus dans l'autre et qu'ils aient la même dimension suffit à prouver qu'ils sont égaux.
Si tu veux t'en persuader, considère une base B de Im(u), c'est aussi une famille libre de Im(u²), et elle est de dimension maximale dans Im(u²) puisque dim(Im(u)) = dim(Im(u²)), donc c'est également une base de Im(u²).

Camélia, est-ce que tu vois quelque chose de plus simple ? Ou quelque chose qui soit vrai en dimension infinie ?

Ok merci beaucoup
comment prouver qu'il sont supplémentaire Ker u et Im u ?

Bonjour
> LeHibou J'accours... En dimension infinie, de toute façon c'est faux, on n'a qu'une seule inclusion en général. Non, je pense qu'ici il fallait faire quelque chose de ce genre, bien que ça paraisse lourd pour seulement 2.

> sOft007 Comme tu sais des choses sur les dimensions, il suffit de montrer que ker(u)Im(u)={0}

Merci Camélia, sans toi je ne suis rien...

N'exagérons pas...