Salut Camélia

moi aussi cet exo est l'un de mes préférés car ça utilise quelque chose que j'aime bien (non, pour une fois rien à voir avec les fonctions holomorphes )

Kaiser

Salut kaiser
Je répète: les grands esprits se rencontrent! On les laisse un peu chercher? Peut-être pas un mois entier...

On verra bien ! L'avenir nous le dira !

Kaiser

Bonsoir les amis

Moi aussi, je l'aime bien cet exercice, mais je ne me rappelle jamais la solution!

Dans un sens, c'est pas trop compliqué il me semble (si A est nilpotente, alors...).

Au fait , on sait quelque chose sur K?

Salut Jeanseb

uniquement qu'il est commutatif.

Kaiser

En fait, je connaissais cet exo seulement lorsque .
Camélia dit simplement qu'il est commutatif.
Au départ, je me demandais bien où ça servait et en y réfléchissant bien, c'est une hypothèse très importante.
Mais bon, je ne dis plus rien (il faut bien qu'on tienne un mois ).

Kaiser

Si K = C , on trigonalise et 1 => 2 vient tout seul, non?

Salut a tous,

un sens est rapide si A est nilpoltente,pour tout k>0, A^k aussi donc les seules valeurs propres sont nulles donc tr(A^k)=0.

Pour l'autre sens,si on montre que toutes les valeurs propres sont nulles alors A sera nilpotente.

J'avais commencé à trigonaliser A(en supposant K algébriquement clos,au pire on fait ca dans un corps de décomposition du polynome caractéristique) et je me retrouvais avec la condition:

.

On doit surement en tirer quelque chose.

Jeanseb > oui !
Cauchy > maintenant que tu le dis, c'est vrai qu'il faut supposer autre chose sur le corps (donc du coup, Jeanseb, tu avais aussi raison de poser la question)

Kaiser

Du genre "Est-il algébriquement clos?"

Jeanseb > par exemple.

Kaiser

Continuez à vous amuser moi je vais manger

Bon appétit (je crois que je ne vais pas tarder non plus )

Merci bon appetit à vous

le cas i => ii est clair

étudions la réciproque :

je pose C ( X ) = det ( XIn - A ) = X^n + a1 X^(n-1) ... + an

On a : an = (-1)^n det A ... De Cayley Hamilton on en tire (mais je suis pas super sur là) que -1^n det A = 0 , on supposer car ( K ) = 0 , donc det A = 0

donc A = ( 0 V )
         ( 0 M )
M est nilpotente si on suppose la réciproque vrai pour M alors elle l'est pour A ... Comme pour n = 1 c'est vrai .... on en déduit le résultat demandé. ?

Donc l'hypothèse à voir est : "car ( K ) = 0"

le déterminant est nul quelque soit la caractéristique du corps (la caractéristique 1 n'existe pas car dans un corps le 1 et le 0 sont deux éléments distincts).

Kaiser

Donc c'est pas ça l'hypothèse .... merci Kaiser

Autre chose : pourquoi A serait de cette forme ? (une matrice nilpotente peut-très bien n'avoir aucun coefficient nul).

Kaiser

Si tu prend le fait que u est l'endo associé à A, on a : u non injectif (puisque det u = 0) .. Il y a donc une base e = (e1 , e2 , e3 ... ) telle que u ( e1 ) = 0 , et donc il y a une matrice de la forme que j'ai donnée avant ..

OK ! dans ce cas, A est uniquement semblable à cette matrice.

Kaiser

oui , ça va pas ?

Bonjour tout le monde.

Algèbre linéaire : chic !

Il me semble important d'apporter des précisions sur K.
Prenons K = Z/3Z et A = I₃ € M₃(K).
Alors, pour tout k, tr(A^k) = 0 et pourtant A n'est pas nilpotente.

A plus RR.

Salut raymond

tiens c'est vrai ça, donc il faudrait effectivement préciser quelque chose sur la caractéristique du corps .
Je pense qu'il faudrait préciser que sa caractéristique est soit nulle, soit strictement supérieur à n.
Normalement, cela devrait suffire (normalement )

Kaiser

Bonjour à tous

D'abord merci à Raymond et Mahow! J'ai fait cet exo une bonne infinité de fois,(j'exagère) et je ne me suis jamais aperçue qu'il y avait un problème de ce type!

C'est sûr que le passage par un corps algébriquement clos, facilite les choses, mais ma démonstration est du genre de celle de Mahow, avec des polynômes, sans forcément Cayley-Hamilton. mais en effet j'ai un problème de caractéristique.

Encore un petit effort, vous comme moi!

Le manque de rigueur étant condamnable, je précise!

Bon je crois bien qu'il s'agit de la caractéristique...

Imaginons qu'elle vaut k > 0...

Alors pour un endomorphisme u , on a tr ( id^p ) = 0 (p > 1)
et si n est multiple de k ...

euh me suis embrouillé je dois tout revoir là

Et je n'ai pas mes bouquins (mon père me les a confisqué) si qqun a un lien parlant de ça je suis preneur ^^

Bonjour à tous

Voici un petit résumé de la situation:

D'abord je rappelle que des matrices semblables ont la même trace et le même degré de nilpotence
ce qui fait que l'on peut raisonner en termes d'applications linéaires ou changer de base à
volonté!

Aucun problème. Comme le dit Cauchy, A est semblable à
une matrice triangulaire T ayant des 0 sur la diagonale et A^k étant semblable à
T^k, sa trace est bien nulle.

Deux types de méthode:

1) En se plaçant dans une cloture algébrique: si
sont les valeurs propres de A, on a



pour tout k>1. Il s'agit des sommes de Newton. En caractéristique 0, ceci entraine que les
sont tous nuls, donc A est nilpotente.

En regardant un peu mieux la démonstration de ce fait, il me semble que l'on peut conclure aussi
pour car(K)>n.

En effet, la méthode consiste à écrire les fonctions symétriques en fonction des
. Par exemple, et il me semble
que l'on doit pouvoir continuer, puisque n'interviennent que des .

2) Avec des polynômes: De toute façon j'ai besoin de supposer que tr(I_n)=n n'est pas nulle.

Hypothèse minimale: car(K) ne divise pas n.

Alors il existe un polynôme P de degré m>1 tel que P(A)=0. (Si on connait Cayley-Hamilton où
l'existence du polynôme minimal, tant mieux, sinon, il suffit de remarquer que la famille
est liée. Si on pose , on a



d'où a₀=0 et

De là on finit comme on veut... Le plus élémentaire est de dire qu'il existe un vecteur non nul
e_n tel que Ae_n=0 et finir par récurrence comme Mahow en remarquant que A
est semblable à une matrice dont la dernière colonne est nulle, et que le bloc (n-1)(n-1) en
haut à gauche vérifie les mêmes hypothèses que A.

Conclusion: bien sûr, j'aurais dû préciser une hypothèse sur la caractéristique.
Néanmoins, comment se fait-il que je peux me contenter d'une hypothèse plus faible
dans la deuxième méthode?

(En fait, je suis loin de ma bibliothèque, donc tout ceci est fait sans textes de référence)

Comme ça on est deux ... parlant de livres là, elle est grosse ta bibliothèque ? et quelles livres as tu d'algèbre ? (ma mère devait me commander trois nouveaux livres, malheureusement c'est annulé et mon argent de poche a diminué, cependant je veux comparer le peu que j'ai avec d'autres ^^)

Par exemple tu as quoi en algébre générale tiens !

Salut Mahow
Je ne suis vraiment pas une bonne référence en matière de bibliothèque! Je suis à la retraite, et j'ai entassé toute ma vie des bouquins (pas tous de maths). De plus, quelqu'un dans mon foyer a supervisé une prépa Agreg et tous les éditeurs nous envoyaient les dernières parutions. Pour un budget qui me semble limité, je préfère laisser tes contemporains de conseiller...

Bon courage!

Ok merci beaucoup...

Je déterre ce sujet car il me manque un élément, soit je suis fou soit je suis c** : je n'ai pas vu la condition sur K...

Mais si... relis mon post du 03/04 où je détaille les possibilités., avec ce que je pense des hypothèses minimales!

A plus

Bonjour,
D'après Wikipédia () tout corps possède une clôture algébrique, unique à un isomorphisme près. Pour un corps fini d'ordre premier p, sa clôture algébrique est l'union des corps d'ordre pⁿ pour tout entier naturel n.

Sans garantie

Fractal

Bonsoir Fractal

OK, mais ce résultat n'a rien d'évident!(je ne le connaissaispas, et encore faudrait-il avoir une idée de la difficulté de la demonstration)

Un théorème comme ça pour démontrer le sens évident, c'est de l'arnaque!

Bonjour jeanseb et Fractal

D'abord, dans un corps le seul nilpotent est 0, donc le raisonnement de Cauchy marche.

Ensuite, tout corps possède une clôture algébrique (théorème de Steinitz); démonstration hautement non triviale. Celle que je connais le mieux utilise l'axiome de Zorn, c'est dire...

Le cas particulier de Z/pZ est en effet plus facile et peut se démontrer directement, mais ça marche parcequ'il est fini. Le problème se repose si on veut une cloture d'un corps infini de caractéristique p, comme par exemple celui des fractions rationnelles à coefficients dans Z/pZ.

(jeanseb, je penserai à toi cette semaine)