Niveau terminale

Analyse combinatoire

Posté par Boss_maths 02-08-12 à 17:47

Bonjour/soir,

Merci de vérifier/compléter ces 2 exercices sur le thème du dénombrement.

1er) simplifier les expressions suivantes :
$X=n!-(n-1)!\quad\quad\text{ et }\quad\quad Y=C_{n}^n\times C_{3n}^{2n}\times C_{2n}^{n}$

2ème) Calculer $n$ sachant que $A_{n}^3=240n$
_____________________________________________

1er) Comme on a : $(n-1)!=\dfrac{n!}{n}$ , il vient :

$X=n!-(n-1)!=n!-\dfrac{n!}{n}=\dfrac{n\times n!-n!}{n}=\dfrac{n!(n-1)}{n}=(n-1)(n-1)!$ ?

Rappels : $C_{p}^{n}=C_{n}^{n-p}$ et aussi $C_n^{n}=1$ .

On a donc : $Y=1\times C_{2n}^{n}\times C_{3n}^{n}$ ?
Peut-on améliorer cette simplification à l'aide des factorielles ?

2ème) Rappel : $A_{n}^p=n(n-1)(n-2)...(n-p+1)$
Dans notre cas $p=3\Rightarrow n-p+1=n-3+1=n-2$ comme dernier facteur.
$A_{n}^3=240n\Leftrightarrow n(n-1)(n-2)=240n\Leftrightarrow n^2-3n-238=0$
Les deux racines de ce trînome sont :
$n_1=-11$ et $n_2=20>0$ la seule à retenir ?

@+

Posté par re : Analyse combinatoire 02-08-12 à 17:59

Citation :
On a donc : $Y=1\times C_{2n}^{n}\times C_{3n}^{n}$ ?
Peut-on améliorer cette simplification à l'aide des factorielles ?

Un peu mon neveu

...

$Y = C_{2n}^{n} . C_{3n}^{n} = (2n)!/(n!n!) \times (3n)!/(2n)!(n)!$

$Y = (3n)!/(n!)^3$

Posté par re : Analyse combinatoire 02-08-12 à 17:59

X est juste...

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