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Analyse synthese
Bonjour, je dois montrer que toute fonction qui est continue sur R dans R s'ecrit de facon unique comme la somme d'une fonction lineaire et d'une fonction dont l'integrale vaut 0 entre 0 et 1.
Je procede par analyse-synthese.
Soient une fonction phi continue sur R tq phi(x)=ax et une fonction h continue sur R tq h(x)=C
phi(x)+h(x)=ax+C
Inversement, ax+C est une fonction affine donc en posant f(x)=ax+C, f est continue sur R.
Donc si f s'ecrit ax+C alors f est continue.
La rédaction est-elle correcte ?
Déjà j'avoue ne jamais avoir compris cette histoire d'analyse synthèse, pour moi c'est une double implication puis voilà. Mais bon je vais essayer de t'aider.
Non à vrai dire je n'ai pas compris ce que tu dis, tu n'es pas en train de dire que toutes les fonctions continues de R dans R sont affines quand même ? Puis à quel moment il y a unicité dans ce que tu racontes ?
Ta fonction h est sensée être d'intégrale nulle ?
On fait d'abord dans un sens puis dans l'autre.
Soit f une fonction continue de R dans R
On suppose qu'il existe g et h 2 fonctions de R dans R telles que g linéaire et l'intégrale entre 0 et 1 de h donne 0 et f=g+h
Alors… on cherche des conditions que doivent remplir g et h, pour exprimer g et h selon la fonction f.
A ce stade on n'a pas montré que toutes les fonctions se décomposaient, mais que si c'était le cas alors elles se décomposaient de cette manière unique.
Maintenant on montre que si on prend une fonction f, et g et h telles qu'on a trouvé tout à l'heure, alors il s'agit bien d'une décomposition de f comme la somme d'une fonction linéaire et d'une autre dont l'intégrale est nulle.
Après concernant la rédaction, a et C ne sont pas définis.
Bonjour,
En fait, NoPseudoDispo, tu as très bien compris ce qu'est l' "analyse-synthèse" 
:
Soit f une fonction continue de R dans R
On suppose qu'il existe g et h 2 fonctions de R dans R telles que g linéaire et l'intégrale entre 0 et 1 de h donne 0 et f=g+h
Alors… on cherche des conditions que doivent remplir g et h, pour exprimer g et h selon la fonction f.
A ce stade on n'a pas montré que toutes les fonctions se décomposaient, mais que si c'était le cas alors elles se décomposaient de cette manière unique.
Ça, c'était l'analyse.
Maintenant on montre que si on prend une fonction f, et g et h telles qu'on a trouvé tout à l'heure, alors il s'agit bien d'une décomposition de f comme la somme d'une fonction linéaire et d'une autre dont l'intégrale est nulle.
Et ça c'était la synthèse.
Je ne saurais pas vraiment être plus claire.
L'analyse consiste à supposer l'existence d'une telle décomposition pour montrer qu'elle est unique, en récoltant des informations sur celle ci.
Tu trouveras par exemple que g=2f et h=-f
La synthèse consiste à montrer l'existence, en utilisant les informations acquises sur la décomposition grâce à l'analyse :
en se fixant f continue et en posant g=2f et h=-f on a bien f=g+h et g linéaire et h d'intégrale nulle (c'est un exemple faux évidemment).
Pour moi c'est le même raisonnement qu'on a parfois avec les équations qu'on a envie d'élever au carré : si on a une solution alors elle est solution du carré de l'équation, mais la réciproque est (a priori) fausse et il faut vérifier que les solutions proposées en sont bien.
Analyse synthèse ou double implication… ou double inclusion… difficile à dire pour moi.
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