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Angle d une ellipse

Posté par ryouga (invité) 15-04-05 à 12:25

voila je fais un petit programme qui dessine un graph en forme de camembert et pour avoir un design un peu plus simpa je le place en perspective ce qui me fait une ellipse au lieu d'un cercle

maintenant mon probléme c'est que pour convertir des pourcentages en angles sur un cercle c'est facile mais sur une ellipse c'est une tout autre affaire car suivant sa position la part de camembert n'aura pas le mme angle.

donc je cherche une formule qui pourrait me donner la convertion d'un pourcentage en angle d'ellipse suivant sa position de départ d'angle !

j'espére que je me suis bien expliquer voila donc si vous avez une piste contactez moi merci

Posté par aicko (invité)indication 15-04-05 à 12:31

la bissectrice interieure de l'angle est orthogonale a la tangente a l'ellipse en ce meme point...

Posté par philoux (invité)re : Angle d une ellipse 15-04-05 à 12:34

> svp, tu peux faire un dessin aicko ?

merci

Philoux

Posté par philoux (invité)re : Angle d une ellipse 15-04-05 à 12:39

> aicko

Connais-tu un cours/mémo, accessible sur le net, sur les coniques (propriétés, surfaces, intersections des tgtes...)

Merci

Philoux (Google ne me retrouve pas un site que j'avais sélectionné, puis perdu...)

Posté par aicko (invité)re 15-04-05 à 12:52

>philoux
je suis nouveau je ne sais pas comment integrer un dessin si tu peux m'expliquer et a l'aide de quel logiciel (freeware si possible...) j'ai vu que tu integrais egalement de belles courbes si tu pouvais me donner egalement le nom du logiciel....

l'equation de la tangente se montre a l'aide de la definition bifocale de l'eelipse
c'est l'ensemble des points M tq MF+MF' = 2a
en derivant cette egalité a l'aide du produit scalaire ...

la tangente en un point M de l'ellipse en un point M est orthogonale àla bissectrice interieure de (\vec{MF},\vec{MF'})
c'est donc la bissectrice exterieure

Posté par philoux (invité)re : Angle d une ellipse 15-04-05 à 13:04

>aicko

Pour le freeware, je te renvoie sur les échanges d'il ya qq semaines : Logiciel de calcul de surface

Pour les intégrations de dessins, vois la FAQ, c'est bien expliqué (loupe et insertion...)

pour les propriétés des coniques, ca remonte à trop loin et je recherche qqchose de synthétique et accessible (niveau BTS/DUT)

Merci encore

Philoux

Posté par aicko (invité)re : Angle d une ellipse 15-04-05 à 13:11

>philoux
http://c.caignaert.free.fr/resume/node37.html

Posté par philoux (invité)re : Angle d une ellipse 15-04-05 à 13:25

> aicko
merci beaucoup : ça a l'air très bien fait

> :ilemath:
Suggestion : bien que les coniques ne soient vues qu'en post bac BTS/DUT (j'dis pas de bétise ?), serait-il intéressant que des bons rédacteurs, habitués de l' en fasse une fiche ?
Si personne, je veux bien essayer, ça risque d'être une copie édulcorée du lien précédent...

Philoux

Posté par aicko (invité)referentiel 15-04-05 à 13:35

les coniques sont etudiées en terminale S option math...

Posté par
cqfd67
re : Angle d une ellipse 15-04-05 à 13:37

non plus depuis 1998......

Posté par philoux (invité)re : Angle d une ellipse 15-04-05 à 13:38

Oups !

Mais étudiées veut dire aussi les propriétés géométrique par rapport aux foyers... ?

Philoux

Posté par philoux (invité)re : Angle d une ellipse 15-04-05 à 13:40

AH ???
Qui dit mieux ??

Philoux

Posté par ryouga (invité)re : Angle d une ellipse 15-04-05 à 13:41

mon probléme c'est que je n'ai comme données que :

le petit et le grand diametre de l'ellipse
et le pourcentage de chaque part du graph fromage

-------------------------------------------------

pour l'instant mes angle sont calculer comme si j'avais un cercle mais on voit bien sur l'image que cela ne colle pas du tout

Angle d une ellipse

Posté par philoux (invité)re : Angle d une ellipse 15-04-05 à 13:46

> ryouga

Essaie le lien fournis par aicko sur les propriétés des coniques
Tu devras (devrais ?) y trouver des infos sur les aires de secteurs (en polaire, rho théta) et, peut-être, trouver ton bonheur...

Philoux

Posté par ryouga (invité)re : Angle d une ellipse 15-04-05 à 13:49

ok merci je vai essayer

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Angle d une ellipse 15-04-05 à 14:29

Pour dessiner un cercle en perspective cavalière.

Il faut connaitre l'angle de fuite et le facteur de réduction.

Par exemple, sur mon dessin, j'ai pris angle de fuite = 30° et facteur de réduction = 1/2.

Cela signifie que les horizontales en vue en plan restent horizontales en perspective et restent en vraie grandeur (toujours vrai).
Que les verticales en vue en plan font en perspective cavalière un angle de 30° avec la verticale et que les dimensions dans cette direction sont divisées par 2 (soit multipliée par 1/2).

Donc dans mon dessin:
à gauche en plan et à droite en perspective cavalière.

AB(en perspective) = AB(en plan)
AD(en perspective)  = (1/2).AD(en plan)

Pour retrouver un point R du cercle dans la perspective cavalière:
On trace les lignes mauve et rouge comme montré sur le dessin de gauche.
On reporte la ligne mauve (OQ) en vraie grandeur sur le dessin en perspective.
On reporte la ligne rouge (QR) de longueur moitié sur le dessin en perspective. (et // aux fuyantes).

Si on veut connaître l'angle réel (en plan) correspondant à l'angle(POR) en perspective.
Sur le dessin de droite (en perspective), on trace la // aux fuyantes passant par R, elle coupe MP en Q.
sur le dessin en perspective, on mesure |OQ|, soit "a" cette mesure et |RQ|, soit "b" cette mesure.  

On aura dans la figure en plan:  angle(POR) = arctg(2b/a)
-----
De manière générale, si le coeffificient de réduction de la perspective est différent de 1/2, par exemple, appelons K la valeur de ce coefficient (0 < K < 1)

On aura: angle(POR) = arctg(b/(Ka))
-----
Sauf distraction.  


Angle d une ellipse

Posté par ryouga (invité)re : Angle d une ellipse 15-04-05 à 14:32

merci bcp pour ta réponse ça va surement m aider bcp

Posté par ryouga (invité)re : Angle d une ellipse 15-04-05 à 15:01

on a pas d'angle de fuite on a juste un facteur de réduction verticale
qui est egale à (hauteur / largeur)

on a fait:

équation paramétrique de l'ellipse

RQ = (hauteur / 2) * sin(angle)

OQ = (largeur / 2) * cos(angle)

et ça marche pas

Posté par philoux (invité)re : Angle d une ellipse 15-04-05 à 15:38

>J-P

Le fait de passer en perspective conserve bien le rapport de surfaces ?
Je m'y perd avec les cos(théta) et les K ?

Merci

Philoux

Posté par ryouga (invité)re : Angle d une ellipse 15-04-05 à 15:57

> je sent que ns ne somme plus tres loin de la solution

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Angle d une ellipse 15-04-05 à 17:52

Il faut se méfier, si on dessine une ellipse comme représentation d'un cercle en perspective cavalière.

On a l'habitude de dessiner une ellipse avec des axes perpendiculaires (grand axe et petit axe).

On remarquera que les points où ces axes rencontrent l'ellipse ne sont pas les points M,N,P,Q de mon dessin original.

Il ne m'étonnerait pas qu'une réelle confusion règne chez l'un ou l'autre à cause de cette caractéristique.

Une bonne façon de construire l'image d'un cercle en perspective cavalière est celle que j'ai donnée, on peut ainsi trouver autant de points que l'on veut de la perspective.

Mais c'est également de cette manière qu'il faut s'y prendre pour mesurer les angles, sinon c'est raté.
-----

Pour la conservation du rapport des aires, je n'y ai pas réfléchi beaucoup.

Un simple calcul sur le triangle OQR de ma réponse initiale et en reprenant les notations "a" et "b":

En plan:
Aire(OQP) = a * b

En perspective:
Aire(OQP) = a * b * sin(alpha)  (avec alpha comme angle de fuite).

Le rapport des aires est sin(alpha).

Voir si c'est valable pour toutes les aires ...
-----
Sauf distraction.  

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Angle d une ellipse 15-04-05 à 17:53

Zut, il faut lire:

...

En perspective:
Aire(OQP) = a * b * K * sin(alpha) (avec alpha comme angle de fuite).

Le rapport des aires est K * sin(alpha).




Posté par philoux (invité)re : Angle d une ellipse 15-04-05 à 17:55

> parce que, pour ryouga, il voudrait conserver les rapports d'aires...

Sinon je pensais à une perspective de son cercle par un outil 3D
une copie d'écran
un copier-coller

C'est plus long, faut faire le noeud

Philoux

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
J-P 16-04-05 à 08:46

Attention que le problème que j'ai décrit est ce qui arrive lorsqu'on remplace un cercle par sa perspective cavalière.
Si on se contente de faire pivoter le cercle autour d'un de ses diamètre et représenter ce qu'on voit "de face", on a aussi une ellipse mais le problème n'est pas le même.

Quel est la vraie question posée par ryouga ?

Perspective cavalière ou rotation du cercle autour d'un de ses diamètre ?


Posté par
J-P Posteur d'énigmes
J-P 16-04-05 à 09:39

Si le problème était de faire pivoter le cercle autour d'un de ses diamètres, alors voila:

On voit sur le dessin comment trouver un point sur l'ellipse qui correspiond à un point du cercle (ils ont la même abscisses).

Ce qui suit montre que le rapport des aires est conservé.
-----

x²/a² + y²/b² = 1  (ellipse de grand axe = 2a et de petit axe = 2b)

y² = (b²/a²).(a² - x²)

demi ellipse supérieure:

y = (b/a).V(a²-x²)   (avec V pour racine carrée)

P(X ; (b/a).V(a²-X²))

Aire rouge : (1/2) * X * (b/a).V(a²-X²) + (b/a).intégrale(de X à a) V(a²-x²) dx

Résolution de:  intégrale(de X à a) V(a²-x²) dx

Poser x = a sin(t) -> dx = a.cos(t) dt

S V(a²-x²) dx = S V(a²-a²sin²(t)).a.cos(t) dt = a² S cos²(t).dt = (a²/2) S (1+cos(2t)) dt
= (a²/2). [t + (1/2).sin(2t)]

S(de X à a) V(a²-x²) dx = (a²/2). [t + (1/2).sin(2t)](de arcsin(X/a) à Pi/2)


S(de X à a) V(a²-x²) dx = (a²/2).[(Pi/2) - arcsin(X/a) - (1/2).sin(2arcsin(X/a))]
-----
Aire rouge = (1/2) * X * (b/a).V(a²-X²) + (b/a).(a²/2).[(Pi/2) - arcsin(X/a) - (1/2).sin(2arcsin(X/a))]

Aire rouge = (1/2) * X * (b/a).V(a²-X²) + (ab/2).[(Pi/2) - arcsin(X/a) - (1/2).sin(2arcsin(X/a))]
-----

Dans le cercle d'origine, on a: X = cos(alpha) (on considère le cercle de rayon unité).
-> a = 1 également:

Aire rouge = (1/2) * cos(alpha) * b.V(1-cos²(alpha)) + (b/2).[(Pi/2) - arcsin(cos(alpha)) - (1/2).sin(2.arcsin(cos(alpha)))]

Le dessin du bas représente le graphe obtenu pour l'expression, de l'aire rouge en fonction de alpha. (j'ai pris b = 1/2 dans ce dessin, mais quel que soit b, on trouve une droite)

Cela semble bien être une droite, ce qui montre que le rapport des aires est conservé.
-----
Sauf distraction.  




J-P

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Angle d une ellipse 16-04-05 à 09:40

Zut, dans ma réponse précédente, la ligne "P(X ; (b/a).V(a²-X²))
" doit être remplacée par P'(X ; (b/a).V(a²-X²))



Posté par philoux (invité)re : Angle d une ellipse 16-04-05 à 19:16

>merci J-P

Philoux



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