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Niveau cinquième
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angle dans un quadrilatère

Posté par
muriel Correcteur
14-06-05 à 23:53

bonjour ,
bon je connais la solution, mais je vous soumets un exercice qu'un élève de 5ème m'a un jour posée:
comment peut-on démontrer que la somme des mesures des angles d'un quadrilatère est égale à 360°?
je rappelle qu'a ce niveau, le quadrilatère en question est convexe.

Posté par
rene38
re : angle dans un quadrilatère 14-06-05 à 23:55

Bonsoir
Question subsidiaire : l'élève sait-il que que la somme des mesures des angles d'un triangle ... ?

Posté par danskala (invité)re : angle dans un quadrilatère 15-06-05 à 00:02

Salut,

Tracer une diagonale puis ...

Posté par nonoparadox (invité)re : angle dans un quadrilatère 15-06-05 à 00:04

Encore toi ! lol

Si tu poses en prérequis qu'on sait que la somme des angles d'un triangle est 180° , il suffit de couper ton quadrilatère en deux triangles, en traçant une des diagonales.

Maintenant pour démontrer que la somme des angles d'un triangle est égale à 180 ° , il suffit de mener par l'un des sommets du triangle la parallèle au côté opposé à ce sommet, et travailler avec des angles alternes-internes et correspondants. C'est difficile à expliquer sans dessin .... c'est comme ça que tu le résolvais ?


Posté par
muriel Correcteur
re : angle dans un quadrilatère 15-06-05 à 00:07

oui, il le sait rene38
mais j'en ai pas eu besoin
danskala,
c'est quoi ton raisonnement?

Posté par
muriel Correcteur
re : angle dans un quadrilatère 15-06-05 à 00:09

le problème dans votre idée, c'est que je ne vois pas le lien avec votre triangle, car vous couper vos angles en deux

Posté par
muriel Correcteur
re : angle dans un quadrilatère 15-06-05 à 00:13

à oui, c'est bon j'ai compris
bon et maintenant, s'il ne connais pas ce prérequis, comment faites vous?

Posté par nonoparadox (invité)re : angle dans un quadrilatère 15-06-05 à 00:16

Et sans redémontrer que la somme des angles d'un triangles est 180° ?

Posté par nonoparadox (invité)re : angle dans un quadrilatère 15-06-05 à 00:17

Ah oui t'as dit que tu t'en es pas servi ...

Posté par danskala (invité)re : angle dans un quadrilatère 15-06-05 à 00:18

Soit ABCD un quadrilatère et traçons sa diagonale [BD]

Dans le triangle ABD on a : \widehat{A}+\widehat{ABD}+\widehat{ADB}=180.

Dans le triangle BDC on a : \widehat{C}+\widehat{CBD}+\widehat{CDB}=180.

Donc \widehat{A}+\widehat{ABD}+\widehat{ADB}+\widehat{C}+\widehat{CBD}+\widehat{CDB}=180+180

soit \widehat{A}+(\widehat{ABD}+\widehat{CBD})+(\widehat{ADB}+\widehat{CDB})+\widehat{C}=180+180

Or \widehat{ABD}+\widehat{CBD}=\widehat{ABC}
et \widehat{ADB}+\widehat{CDB}=\widehat{ADC}

donc
\widehat{A}+\widehat{ABC}+\widehat{ADC}+\widehat{C}=360

Posté par
rene38
re : angle dans un quadrilatère 15-06-05 à 00:22

Quels sont les prérequis ?
Angles alternes-internes ?
Angles à côtés parallèles ?
Symétrie centrale ?
....

Posté par danskala (invité)re : angle dans un quadrilatère 15-06-05 à 00:24

Et la somme des angles d'un pentagone (convexe) ?
Et la somme des angles d'un polygone à n côtés (convexe)?

Posté par
muriel Correcteur
re : angle dans un quadrilatère 15-06-05 à 00:31

les prérequis sont angles alternes internes, angles opposés par le sommet ...

conclusion: je viens de vous donner la solution

pour l'histoire des angles du polygone à n côtés, tout ce que je peux dire, c'est que cela doit tendre vers l'infini, non?

Posté par danskala (invité)re : angle dans un quadrilatère 15-06-05 à 00:34

Pour le pentagone c'est 540° je crois.
Et pour le polygone à n côtés je dirais 180(n-2)°

Posté par
muriel Correcteur
re : angle dans un quadrilatère 15-06-05 à 00:38

pourquoi?

Posté par
rene38
re : angle dans un quadrilatère 15-06-05 à 00:45

"les prérequis sont angles alternes internes, angles opposés par le sommet "
Tu peux préciser ?

Posté par danskala (invité)re : angle dans un quadrilatère 15-06-05 à 00:47

Je généralise ce que j'ai fait avec le quadrilatère.

Par exemple, dans mon pentagone je fais apparaître 3 triangles.

La somme des 3 angles du triangle ABC est égale à 180°.
La somme des 3 angles du triangle ACD est égale à 180°.
La somme des 3 angles du triangle ADE est égale à 180°.

La somme de ces 9 angles est égale à 1803 soit 540°.

Ensuite tu arranges ces 9 angles:
la somme des 2 bleus est égale à l'angle \widehat{BCD}
la somme des 2 verts est égale à l'angle \widehat{CDE}
la somme des 3 roses est égale à l'angle \widehat{BAE}

Finalement tu arrives à la somme des 5 angles du pentagone qui vaut 540°.

angle dans un quadrilatère

Posté par
muriel Correcteur
re : angle dans un quadrilatère 15-06-05 à 11:24

pour danskala
ok

pour rene38
voilà un dessin:
(ce qui est de la même couleur est soit parallèles: pour les droites; soit de même mesure: pour les angles)

angle dans un quadrilatère

Posté par
rene38
re : angle dans un quadrilatère 15-06-05 à 11:32

muriel > d'accord pour les 2 paires d'alternes-internes mais
- je ne vois pas d'utilisation d'angles opposés par le sommet
- comment justifies-tu la troisième égalité ?

Posté par
muriel Correcteur
re : angle dans un quadrilatère 15-06-05 à 11:39

j'avais mis trois petit point (ce qui voulait dire que j'ai mis en prérequis tout ce qui attrait au angle au niveau 5ème: alterne interne, correspondant, opposés par le sommet, complémentaire et supplémentaire)
donc il se peut que tu ne les utilises pas tous

ensuite, pour la 3ème égalité:
comment construis tu un angle?
n'oublies pas que les droites sont parallèles (donc même ouverture: définition de l'angle)
non?



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