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Niveau Licence Maths 1e ann
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Angles d'Euler,matrices et point de l'espace

Posté par
yaduor
25-10-13 à 21:03

Bonsoir à tous,

Je viens soliciter un peu d'aide concernant la géométrie 3D et plus particulièrement les angles d'Euler et matrices de rotations grandement abordés sur ce forum.
Je n'ai pas trouvé vraiment de réponse à ma question qui est ; comment retrouver les coordonnées d'un point M ayant subi une rotation autour de l'axe des abscisses(x), puis une rotation autour des axes des ordonnées(y) puis une rotation autour des axes des cotes(z).

On pose le paramétrage suivant:

\theta = \frac{\pi}{4}   (rotation autour des \vec{x})

\phi = \frac{\pi}{4}   (rotation autour des \vec{y})

\psi = \frac{\pi}{4} (rotation autour des \vec{z})    

Soit le point M tel que :
M = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}

Je fais subir au point M, une rotation d'angle \theta , puis d'angle \phi et enfin d'angle \psi

Comment retrouver les nouvelles coordonnées du point M ?

J'ai essayé de poser les matrices de rotations suivantes :
R_x = \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&cos(\theta)&-sin(\theta)\\0&sin(\theta)&cos(\theta)\end{array}\right]  

R_y = \left[\begin{array}{ccc}cos(\phi)&0&sin(\phi)\\0&1&0\\-sin(\phi)&0&cos(\phi)\end{array}\right]  

R_z = \left[\begin{array}{ccc}cos(\psi)&-sin(\psi)&0\\sin(\psi)&cos(\psi)&0\\0&0&1\end{array}\right]  

J'ai ensuite procédé :
M_2 = R_x.M

M_3 = R_y.M_2

M_4 = R_z.M_3

Donc les coordonnées du point M est le point M_4

Application numérique:


R_x = \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0.707&-0.707)\\0&0.707&0.707\end{array}\right]  

R_y = \left[\begin{array}{ccc}0.707&0&0.707\\0&1&0\\-0.707&0&0.707\end{array}\right]  

R_z = \left[\begin{array}{ccc}0.707&-0.707&0\\0.707&0.707&0\\0&0&1\end{array}\right]  

M_2 = \begin{pmatrix}1\\0\\1.414\end{pmatrix}

M_3 = \begin{pmatrix}1.707\\0\\0.293\end{pmatrix}

M_4 = \begin{pmatrix}1.207\\1.207\\0.293\end{pmatrix}

Ce que je ne comprends pas, c'est que les coordonnées x, y et z du point M_4 devraient être les mêmes puisqu'on a provoqué uniquement des rotations non ?

Je pense que mon raisonnement est faux mais je suis ouvert à toute explication

Je vous remercie !

Posté par
GaBuZoMeu
re : Angles d'Euler,matrices et point de l'espace 25-10-13 à 21:15

Pourquoi donnes-tu le titre "Angles d'Euler" ? les angles d'Euler , ce n'est pas ça.

Posté par
iciparisonzieme
re : Angles d'Euler,matrices et point de l'espace 25-10-13 à 21:18

Ce n'est pas moi qui vais pouvoir t'aider car sans dessin je suis perdu

Posté par
yaduor
re : Angles d'Euler,matrices et point de l'espace 25-10-13 à 21:51

http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/meca/angleeuler.html

Citation :
Posté par Profil GaBuZoMeu

Pourquoi donnes-tu le titre "Angles d'Euler" ? les angles d'Euler [http://fr.wikipedia.org/wiki/Angles_d%27Euler] , ce n'est pas ça.


bah je pensais que ca s'y rapportait mais j'ai du mal à distinguer la nuance entre mon problème et celui des angles d'Euler

Posté par
GaBuZoMeu
re : Angles d'Euler,matrices et point de l'espace 25-10-13 à 21:57

Il suffit de lire la référence que tu mets en lien pour voir que tes \theta, \phi, \psi ne sont pas les angles d'Euler.

Et ça :

Citation :

Ce que je ne comprends pas, c'est que les coordonnées x, y et z du point M_4 devraient être les mêmes puisqu'on a provoqué uniquement des rotations non ?

c'est pratiquement incompréhensible.

Quel est ton problème ? Peux-tu le formuler clairement ?

Posté par
yaduor
re : Angles d'Euler,matrices et point de l'espace 25-10-13 à 22:07

on réalise 3 rotations du point M autour des 3 axes du trièdre d'angles définis.
Comment calculer les coordonnées du point M ayant subit ces 3 rotations ?
Jvais projeter étape par étape pour me lancer

Posté par
GaBuZoMeu
re : Angles d'Euler,matrices et point de l'espace 25-10-13 à 22:13

De la façon dont tu as procédé : en multipliant successivement par les trois matrices de rotation. A part le fait qu'il ne s'agit pas des angles d'Euler, je ne vois vraiment pas où est ton problème.

Posté par
yaduor
re : Angles d'Euler,matrices et point de l'espace 25-10-13 à 22:25

je ne peux pas éditer le message mais j'ai compris qu'il ne s'agit pas des angles d'Euler.

Mon problème étant, qu'on effectue la même rotation (\frac{\pi}{4}) autour des 3 axes, pour un point M de coordonnées \left[\begin{array}{ccc}\ 1\\1\\1\end{array}\right]  .

Le résultat renvoie un projeté du point M noté M' de coordonnées \left[\begin{array}{ccc}\ 1.207\\1.207\\0.293\end{array}\right]  

Pour moi, ce point M' devrait avoir pour coordonnées \left[\begin{array}{ccc}\ 1.207\\1.207\\1.207\end{array}\right]  

Est ce que j'arrive à me faire comprendre ?

Posté par
GaBuZoMeu
re : Angles d'Euler,matrices et point de l'espace 25-10-13 à 22:33

Qu'appelles-tu "projeté du point M" ?? C'est juste l'image du pouint M par la suite de trois rotations, pour moi.

L'erreur que tu fais, c'est sans doute de croire que le produit de rotations dans l'espace est commutatif. Ce n'est pas le cas. Le résultat dépend de l'ordre dans lequel on fait les rotations.
Faire une rotation d'axe (Ox) et d'angle \pi/4 suivi d'une rotation d'axe (Oy) d'angle \pi/4, ce n'est pas la même chose que de faire une rotation d'axe (Oy) et d'angle \pi/4 suivi d'une rotation d'axe (Ox) d'angle \pi/4.

Posté par
yaduor
re : Angles d'Euler,matrices et point de l'espace 25-10-13 à 22:44

Citation :
Qu'appelles-tu "projeté du point M" ?? C'est juste l'image du pouint M par la suite de trois rotations, pour moi.

c'est ce que je voulais dire en effet.

L'erreur que tu fais, c'est sans doute de croire que le produit de rotations dans l'espace est commutatif. Ce n'est pas le cas. Le résultat dépend de l'ordre dans lequel on fait les rotations.
 \\ Faire une rotation d'axe (Ox) et d'angle \pi/4 suivi d'une rotation d'axe (Oy) d'angle \pi/4, ce n'est pas la même chose que de faire une rotation d'axe (Oy) et d'angle \pi/4 suivi d'une rotation d'axe (Ox) d'angle \pi/4.

je comprends tout a fait qu'un produit de matrices n'est pas commutatif. Cependant je travaille sur une pièce mécanique 3d dans un repère-pièce initial et jvoulais savoir comment retrouver les coordonnées de certains points de cette pièce mécanique dans un nouveau repère (ayant la même origine que le repère initial) dont je connais que les écarts d'angles entre les axes. J'ai déja du mal à expliquer le problème sur papier avec des schéma, alors n'imaginez même pas comment je peine à m'expliquer en ligne.

Bref, pour en finir;

En supposant qu'on procède d'abord par la rotation autour de l'axe x, puis autour de l'axe y et enfin autour de l'axe z, le résultat de mon calcul (au-dessus de la page) semble donc cohérent ?

Posté par
GaBuZoMeu
re : Angles d'Euler,matrices et point de l'espace 25-10-13 à 22:48

Bien sûr.

"Ecart d'angles entre les axes" : ce n'est pas très précis. En tout cas, je pense que tu auras intérêt à lire attentivement et à essayer de comprendre cette histoire d'angles d'Euler.

Posté par
yaduor
re : Angles d'Euler,matrices et point de l'espace 25-10-13 à 22:58

Citation :
"Ecart d'angles entre les axes" : ce n'est pas très précis. En tout cas, je pense que tu auras intérêt à lire attentivement et à essayer de comprendre cette histoire d'angles d'Euler.


Je me suis perdu dans les différentes notions que j'ai abordées récemment c'est vrai !. J'ai utilisé les angles d'Euler sur la dynamique de l'auto, notamment avec le pitch, roll, yaw et j'ai pensé que ca ressemblait alors qu'en fait c'est bien plus simple que ca.
Les changements de bases, points, rotations sont courant dans la cinématique des autos et jpense bien revenir demander de l'aide notamment sur la vraie définition des angles d'Euler. La géométrie 3d n'est pas mon fort

Merci de tes remarques GaBuZoMeu et bonne soirée .

Posté par
GaBuZoMeu
re : Angles d'Euler,matrices et point de l'espace 25-10-13 à 23:02

Bonne nuit.



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