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anneau de polynôme

Posté par
fusionfroide 10-03-08 à 17:02

Re bonjour !

J'ai un petit problème de notation !

On écrit que 4$\mathbb{Q}(\sqrt{7})=\{a+b\sqrt{7},a,b\in \mathbb{Q}\}

Pourquoi se limite-t-on au premier degré ?

J'ai lu dans un bouquin que : 4$\mathbb{Q}(\beta)=\{\Bigsum_{i=0}^n a_i \beta^i, a_i \in \mathbb{Q}\}, et que pour mon cas particulier, il suffit de prendre \beta^i=\sqrt{7}u pour tout i

J'avoue ne pas comprendre, car si tel est le cas, on a un polynôme de la forme a_0+\sqrt{7}u(a_1+...+a_n)

Mais qu'est-ce que u ?

Merci

Posté par
Nightmarere : anneau de polynôme 10-03-08 à 17:05

Salut

Simplement parce que les puissances successives de la racine de 7 donnent soit un rationnel soit un multiple de racine de 7

On a donc 3$\rm \{\Bigsum_{i=0}^{n} a_{i}\sqrt{7}^{i}, a_{i}\in \mathbb{Q}\}=\{a+b\sqrt{7},a,b\in \mathbb{Q}\}

Posté par
fusionfroidere : anneau de polynôme 10-03-08 à 17:08

Merci Jord !

C'est très clair et je vais pouvoir avancer !

A+

Posté par
Nightmarere : anneau de polynôme 10-03-08 à 17:13

Je t'en prie, bon courage pour la suite

Posté par
1 Schumi 1re : anneau de polynôme 11-03-08 à 10:54

Salut tout le monde,

Citation :
On écrit que 4$\mathbb{Q}(\sqrt{7})=\{a+b\sqrt{7},a,b\in \mathbb{Q}\}


Euh non, c'est pas "on écrit que", c'est "on démontre que". \rm\mathbb{Q}(\sqrt{7}) (ou plus généralement \rm \mathbb{k}(a)) c'est le plus petit corps (au sens de l'inclusion) qui contient à la fois \rm\mathbb{k} et \rm a.
Le "n" de ton bouquin c'est le "n" du degré de \rm a sur \rm\mathbb{k}. Il peut être infini (par exemple pour \rm\beta=e ou \rm\beta=\pi sur \mathbb{Q}). Dans ton cas c'est n=2 donc pas de souci.

Posté par
H_aldnoerre : anneau de polynôme 11-03-08 à 12:57

Bonjour.
\sqrt{7} est algébrique sur \mathbb{Q} donc \mathbb{Q}(\sqrt{7})=\mathbb{Q}[\sqrt{7}] et on refait ce que nous avions fait hier fusionfroide.

Précisemment, \mathbb{Q}(\sqrt{7})=Frac(\mathbb{Q}[\sqrt{7}]).
On montre que \mathbb{Q}[\sqrt{7}] est un corps car :
il contient \mathbb{Q}
il est intègre
il est de dimension finie sur \mathbb{Q} (on exhibe la base \{1,\sqrt{7}\})

d'où Frac(\mathbb{Q}[\sqrt{7}])=\mathbb{Q}[\sqrt{7}].

Posté par
1 Schumi 1re : anneau de polynôme 11-03-08 à 13:21

Oui mais ici refaire tout ça c'est vraiment se compliquer la vie!

Posté par
lolo217re : anneau de polynôme 11-03-08 à 20:29

attention  quand    est transcendant   ()  n'est jamais l'ensemble des polynômes en  : c'est l'ensemble des fractions rationnelles.


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