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Anneau des polynomes de Z[X]

Posté par
robby3 30-09-07 à 13:58

Bonjour à tous,dans cet exercice je trouve l'énoncé bizarre:

On considere l'anneau des polynomes Z[X].
1)Montrer que pour p premier,n dans Z, pZ[X] et (X-n)Z[X] sont des idéaux premiers et non maximaux.
2)Déterminer les idéaux maximaux de Z[X] qui contiennent pZ[X] et ceux qui contiennent (X-n)Z[X].

pour la 1),j'ai ça comme propriété:

I premier<=>A/I integre ou A est un anneau
I maximal<=> A/I est un corps

pour moi Z[X]/pZ[X] est un corps pour p premier donc pZ[X] est maximal...
et Z[X]/((X-n).Z[X]) est isomorphe à Z qui est integre donc(X-n).Z[X] est un idéal premier,mais pas maximal car Z n'est pas un corps,les inversibles sont {-1,1}.

Pour 2)les idéaux qui conteinnent (X-n)Z[X],y'a que Z[X] je crois,pour pZ[X],je sais pas.

Merci d'avance de vos observations.

Posté par
robby3Anneau des polynomes de Z[X] 30-09-07 à 14:13

pour la 2)
Je considere I un idéal de Z[X],maximal,I est donc engendré par un élément de Z[X],P et contient strictement p.Z[X].
on a:

pZ[X] C P.Z[X] donc P/p or P différent de p car I contient strictement pZ[X],donc P=1 puisque p est premeir d'ou I=Z[X].
Donc le seul idéal maximal de Z[X] qui contient pZ[X] est Z[X].

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes de Z[X] 30-09-07 à 14:47

re robby

Citation :
Je considere I un idéal de Z[X],maximal,I est donc engendré par un élément de Z[X]


erreur : \Large{\mathbb{Z}[X]} n'est pas principal (du coup, pour répondre à la première question, il faut vraiment construire un idéal qui el contient strictement).
Sinon, tu peux remarquer que \Large{\mathbb{Z}[X]/p\mathbb{Z}[X]} c'est à peu de chose près à \Large{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X]} qui n'est pas un corps.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes de Z[X] 30-09-07 à 14:51

en fait, ces deux anneaux sont isomorphes.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes de Z[X] 30-09-07 à 14:52

Tiens, tu peux même le montrer.

Kaiser

Posté par
robby3re : Anneau des polynomes de Z[X] 30-09-07 à 14:55

ahh oué c'est vrai!!
non mais en fait faut que je montre que pZ[X] est un idéal premeir mais non maximal de Z[X].

Comme Z[X]/pZ[X] c'est "à peu de chose prés" (c'est isomorphe??) Z/pZ [X] qui n'est pas un corps,pZ[X] n'est donc pas maximal.
faut montrer qu'il est premier cad que Z[X]/pZ[X] est integre et là bah je vois pas trop...faut montrer que seul O est diviseur de 0...

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes de Z[X] 30-09-07 à 14:56

Citation :
et Z[X]/((X-n).Z[X]) est isomorphe à Z qui est integre donc(X-n).Z[X] est un idéal premier,mais pas maximal car Z n'est pas un corps,les inversibles sont {-1,1}.


ça, c'est OK !

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes de Z[X] 30-09-07 à 14:57

Citation :
faut montrer qu'il est premier cad que Z[X]/pZ[X] est integre et là bah je vois pas trop...faut montrer que seul O est diviseur de 0...


il est isomorphe à un anneau de polynômes sur un corps. Ce dernier est intègre, donc il est intégre.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes de Z[X] 30-09-07 à 14:59

Citation :

il est isomorphe à un anneau de polynômes sur un corps


je reformule :

il est isomorphe à un anneau de polynôme à coefficients dans un corps (\Large{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}})

Kaiser

Posté par
robby3re : Anneau des polynomes de Z[X] 30-09-07 à 15:05

Citation :
Tiens, tu peux même le montrer.

>On fait ça avec la surjection canonique?
on a de maniere générale: A[X]/IA[X] iso à (A/I)[X]

et on sait que (Z/pZ)[X] est integre??

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes de Z[X] 30-09-07 à 15:10

Citation :
>On fait ça avec la surjection canonique?
on a de maniere générale: A[X]/IA[X] iso à (A/I)[X]


oui (mais avec plutôt I[X] que IA[X]).

Citation :
et on sait que (Z/pZ)[X] est integre??


oui, car si A est un anneau intégre (a fortiori si A est un corps), alors A[X] est intègre.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes de Z[X] 30-09-07 à 15:11

Ici, \Large{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}} est un corps, car p est premier donc c'est bon.

Kaiser

Posté par
robby3re : Anneau des polynomes de Z[X] 30-09-07 à 15:15

ah oui c'est vrai!!! je l'ai vu en TD,faut que je le note ce truc là!

oué donc Z/pZ est un corps donc un anneau integre et c'est fini.

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes de Z[X] 30-09-07 à 15:20

c'est bien ça. La question 1 est alors terminée.

Kaiser

Posté par
robby3re : Anneau des polynomes de Z[X] 30-09-07 à 15:24

OK!
pour la 2) faut donc que je détermine les idéaux maximaux de Z[X] contenant pZ[X]...
Quelle est la méthode à suivre dans ce genre de truc,vu qu'il faut les construire...??

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes de Z[X] 30-09-07 à 15:26

J'y réfléchis !

Kaiser

Posté par
robby3re : Anneau des polynomes de Z[X] 30-09-07 à 15:30

OK!
Moi aussi!!

Posté par
robby3re : Anneau des polynomes de Z[X] 30-09-07 à 16:20

(Z/pZ)[X] est un anneau integre mais pas un corps??

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes de Z[X] 30-09-07 à 16:45

oui. C'est pour cela que \Large{p\mathbb{Z}[X]} est premier mais non maximal.
Sinon, je pense avoir trouvé un truc mais qui peut paraitre compliqué.

Voici ce que je me suis dit :
Considérons I un idéal maximal contenant pZ[X]
on a \Large{p\mathbb{Z}[X]\subset I}.

Ainsi, le noyau de la surjection canonique de \Large{\mathbb{Z}[X]\mapsto \mathbb{Z}[X]/I} contient pZ[X] et donc cette surjection se factorise à travers le quotient \Large{\mathbb{Z}[X]/ p\mathbb{Z}[X]} en une application qui est encore surjective \Large{\mathbb{Z}/ p\mathbb{Z}[X]\mapsto \mathbb{Z}[X]/I}

Maintenant, ça serait bien que cette surjection soit celle d'un quotient de \Large{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X]} par un idéal de ses idéaux. Or le quotient de droite est une corps si I est maximal dans Z[X], donc le fameux quotient de \Large{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X]} serait celui obtenu en quotientant par un idéal maximal de \Large{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X]}.

Or, on a vu hier dans un de tes topics que les seuls idéaux de ce genre sont les \Large{Q\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X]} avec Q irréductible dans \Large{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}.

En fait, on pourrait espérer que l'image I' de I à travers la projection canonique\Large{\mathbb{Z}[X]\mapsto \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X]} est ce fameux idéal.
Ainsi, tout élément de I' s'écrirait sous la forme \Large{QR} avec R un polynôme quelconque.

En "remontant", I serait alors les éléments de la forme QR+pT où R et T sont deux polynômes.

Conclusion : I serait alors l'idéal engendré par p et un polynôme Q à coefficients entiers irréductible sur \Large{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}.


Biens sûr, ce n'est qu'une idée et il faudrait bien montrer tout correctement mais normalement ça devrait marcher.

Kaiser

P.S : je suis conscient que tout ceci est bien théorique et assez compliqué, donc n'hésite pas à redemander de l'aide pour comprendre l'idée générale.

Posté par
robby3re : Anneau des polynomes de Z[X] 30-09-07 à 16:53

Citation :
Voici ce que je me suis dit :

>>
tu te dis des trucs auxquels j'ose meme pas imaginer

Tu sais ce que je vais faire,vu que je commence à saturer là je vais aller me détendre un peu,
je recopie ce que tu as marqué et demain je demande à mon prof de Td ce qu'il en pense,pour voir si y'a pas plus simple.
T'es ok?

Posté par
robby3re : Anneau des polynomes de Z[X] 30-09-07 à 16:55

1)pourquoi le noyau de la surjection canonique contient pZ[X] ?

Citation :
Maintenant, ça serait bien que cette surjection soit celle d'un quotient de Z/pZ[X]  par un idéal de ses idéaux.

>je comprends pas cette phrase??

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes de Z[X] 30-09-07 à 17:16

Citation :
tu te dis des trucs auxquels j'ose meme pas imaginer



mais bon faut dire qu'elle m'auras bien fait donné du fil à retordre cette question (encore faut-il que ce soit juste ! )

Citation :
Tu sais ce que je vais faire,vu que je commence à saturer là je vais aller me détendre un peu,
je recopie ce que tu as marqué et demain je demande à mon prof de Td ce qu'il en pense,pour voir si y'a pas plus simple.
T'es ok?


OK ! Tiens moi au courant (parce que pour les idéaux maximaux qui contiennent (X-n)Z[X], j'ai "raisonné" de la même manière et j'aboutis au résultat suivant : ces idéaux sont engendrés par X-n et p où p est un nombre premier)

Citation :
1)pourquoi le noyau de la surjection canonique contient pZ[X] ?


le noyau de cette surjection c'est exactement I, lequel contient pZ[X], par hypothèse.

Citation :

citation :
Maintenant, ça serait bien que cette surjection soit celle d'un quotient de Z/pZ[X] par un idéal de ses idéaux.

>je comprends pas cette phrase??


je me suis bien emmêlé les pinceaux.
Je reformule :

Citation :
Maintenant, ça serait bien que cette surjection soit celle d'un quotient de Z/pZ[X] par un de ses idéaux.


Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes de Z[X] 30-09-07 à 17:20

Pour la dernière remarque, plus précisément, je voulais dire que ça serait bien que le quotient \Large{\mathbb{Z}[X]/I} soit isomorphe à un quotient du type \Large{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X]/J} où J est un idéal de \Large{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X]}.

Ainsi, cette surjection dont je parlais plus haut, serait à peu de choses près (c'est-à-dire modulo une composition par un isomorphisme) la surjection canonique associée au quotient \Large{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X]/J}.

Kaiser

Posté par
robby3re : Anneau des polynomes de Z[X] 30-09-07 à 17:35

ok c'est un tout ti peu plus clair!
Je te tiens au courant,je viendrais demain soir donner de nouvelles de cet exerice qui t'as donné du fil à retordre(enfin juste une question )...chose rare
je pense que j'ai compris l'idée,meme si elle parait assez délicate surtout pour moi.
Je verrais demain si le prof a une autre explication plus "abordable"
A demain donc!
Bonne fin de journée Kaiser et encore un grand merci pour ta patience et ton savoir-faire!

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes de Z[X] 30-09-07 à 17:38

Mais je t'en prie !
à demain donc !

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes de Z[X] 30-09-07 à 21:17

ayant un peu de temps devant moi, j'essaie de rédiger mon idée au propre.

Soit I un idéal de \Large{\mathbb{Z}[X]} contenant p

On va montrer l'équivalence entre les deux propriétés suivantes

(i) I est un idéal maximal de \Large{\mathbb{Z}[X]}
(ii) I est un idéal engendré par p et un polynôme Q dont la réduction modulo p est irréductible sur \Large{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}.



On va d'abord commencer par le résultat préliminaire suivant :

Notons \Large{\varphi} l'application qui a un polynôme à coefficients entiers Q associe sa réduction modulo p.
\Large{I'=\varphi (I)} est alors un idéal de \Large{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X]} et l'anneau \Large{\mathbb{Z}[X]/I} est isomorphe à l'anneau \Large{(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X])/I'}

Preuve du résultat préliminaire:

le fait que I' est un idéal est facile à voir.

Considérons donc l'application f définie sur \Large{\mathbb{Z}[X]} à valeurs dans le quotient \Large{(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X])/I'}, qui à un polynôme R lui associe la classe modulo I' de la réduction modulo p de R.

Plus précisément, si Q s'écrit \Large{\Bigsum_{k=0}^{n}a_kX^k}, alors \Large{f(Q)=\Bigsum_{k=0}^{n}\bar{a_k}X^k mod I'}
f est clairement un morphisme d'anneaux (par composition)

on va montrer que le noyau de f est exactement I.

si Q est dans I, alors par définition de I', f(Q)= 0 mod I'.
Donc I' est inclus dans le noyau de f.

Réciproquement, soit \Large{Q=\Bigsum_{k=0}^{n}a_kX^k} un élément du noyau de f, alors f(Q)=0 mod I'.

Donc \Large{\Bigsum_{k=0}^{n}\bar{a_k}X^k \in I'}

Ainsi, \Large{\Bigsum_{k=0}^{n}\bar{a_k}X^k } est la réduction modulo p d'un certain polynôme T qui appartient à I, donc Q=T mod p.
Ainsi, il existe un autre polynôme U tel que Q=T+pU.

Or T est dans I et pU est dans I (car p est dans I et I est idéal), donc Q est dans I.
Par suite, d'après le théorème de factorisation, \Large{\mathbb{Z}[X]/I} est isomorphe à l'anneau \Large{(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X])/I'}.


Procédons maintenant à la preuve de l'équivalence \Large{(i)\Longleftrightarrow (ii)}


Montrons \Large{(i)\Longrightarrow (ii)}

I est un idéal maximal de \Large{\mathbb{Z}[X]}, donc \Large{\mathbb{Z}[X]/I} est un corps.

Or celui-ci est isomorphe à \Large{(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X])/I'}, donc ce dernier est un corps.

cela implique donc que I ' est un idéal maximal de \Large{(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X])}.

Or les idéaux maximaux de \Large{(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X])} sont les idéaux du type \Large{T(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X])} où T est un polynôme irréductible de \Large{(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X])}.

Ainsi, I' est de ce type.
Notons Q un polynôme à coefficients entiers appartenant à I dont la réduction modulo p est T (c'est possible car Q est dans I')

I' est l'image de la réduction modulo p des éléments de I donc pour tout polynôme R de I. Sa réduction modulo p est dans I' donc sa réduction est un multiple de Q donc il existe A à coefficients entiers tel que R=AT mod p, donc R=AT+pU pour un certain polynôme U.

Réciproquement, tout élément de cette forme est bien dans I (car I est un idéal) donc I est bien engendré par p et un polynôme dont la réduction modulo p est irréductible dans \Large{(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X])}.


Montrons \Large{(ii)\Longrightarrow (i)}

Notons R la réduction modulo p de Q (aini R est irréductible par hypothèse)
On va montrer que \Large{I'=R\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X]}

Soit C un élément de I', il existe un polynôme A de I tels que C est la réduction modulo p de A. A est dans I donc il s'écrit A=pU+TQ
Par réduction modulo p, C est bien un multiple de R donc est bien dans \Large{R\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X]}.

Réciproquement, si C est un multiple de R, alors en notant A un polynôme dont C est la réduction modulo p, on a A=UQ mod p pour un certain polynôme Q.
Ainsi, il existe un polynôme T tel que A=UQ+ pT.
Or Q et p sont dans I donc A aussi, car I est un idéal, donc par définition de I', A est dans I'.

Comme R est irréductible, on en déduit donc que I ' est un idéal maximal et donc que \Large{(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X])/I'} est un corps.

Or \Large{(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X])/I'} et \Large{\mathbb{Z}[X]/I} sont isomorphes donc \Large{\mathbb{Z}[X]/I} est un corps.

par suite, I est un idéal maximal.

ouf !


Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes de Z[X] 30-09-07 à 21:24

Pour l'autre question, on raisonne de la même manière et trouve que les idéaux maximaux qui contient X-n sont ceux engendrés par X-n et p où p est un nombre premier.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Anneau des polynomes de Z[X] 30-09-07 à 22:02

quand kaiser à un peu de temps devant lui !

Posté par
robby3re : Anneau des polynomes de Z[X] 30-09-07 à 22:22

c'est énorme!!
T'imagines coment ça bouillonn dans sa tete!

Posté par
H_aldnoerre : Anneau des polynomes de Z[X] 30-09-07 à 22:31

ah ouais mais complet!

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes de Z[X] 30-09-07 à 22:37

Disons que l'idée générale est assez simple mais la mettre en oeuvre est un peu long (car il faut bien tout détailler, surtout quand on veut montrer que deux anneaux sont isomorphes).
d'ailleurs, le résultat préliminaire tient simplement au fait qu'on peut simplifier des quotients.
Vous avez sans doute déjà vu en cours un résultat du genre :

si G, H et K sont des groupes tel que K est inclus dans H et H est inclus dans G et K et H distingués dans G, alors K/H est distingué dans G/H et

G/ K est isomorphe à (G/H)/(K/H).

Sinon, vous avez compris ce que j'ai fait ou alors moyennement ?

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Anneau des polynomes de Z[X] 30-09-07 à 22:41

moi franchement moyennement, parce que les idéaux on a pas encore fait en td même si on en a beaucoup parlé en cours!
d'ici quelques jours, je reviendrais lire ceci!

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes de Z[X] 30-09-07 à 22:42

OK !

Kaiser

Posté par
gui_toure : Anneau des polynomes de Z[X] 30-09-07 à 23:00

Bonsoir à tous

Juste pour dire que Kaiser est époustouflant

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes de Z[X] 30-09-07 à 23:02

Rien que ça ?

merci !

Kaiser

Posté par
jeansebre : Anneau des polynomes de Z[X] 01-10-07 à 14:10

Respect...

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes de Z[X] 01-10-07 à 14:17

salut jeanseb

merci !

Kaiser

Posté par
robby3re : Anneau des polynomes de Z[X] 01-10-07 à 18:49

Hey!!

Malheuresement,le prof de td l'a pas corrigé mais aprés incistance,il m'a dit que effectivement c'était pas si facile et que la question était un peu "vache"

Il m'a simplement dit d'utiliser cette propriété qu'on a vu le matin meme en TD...

\rm \large \\ Soit A un anneau commutatif unitaire. \\ On considere un ideal I de A et \\ l'on designe par f la surjection canonique de A dans l'anneau quotient A/I \\ \\ Alors on a une application \\ J->f^{-1}(J) qui realise une bijection \\ de l'ensemble des ideaux de A/I \\ sur l'ensemble des ideaux contenant I
(cette aplication admet une réciproque)

voilà,il m'a dit de m'en sortir avec ça...
et bon j'ai pas trop saisi la suite des événements...
Si ça t'aide Kaiser,fait moi signe!

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes de Z[X] 01-10-07 à 21:14

En fait, ça revient plus ou moins à ce que j'ai fait.
En effet, grâce à cette bijection, on peut montrer que J est un idéal maximal de A/I si et seulement si \Large{f^{-1}(J)} est un idéal maximal de A.
Dans le cas où l'on recherche les idéaux maximaux contenant p, f est alors, à peu de choses près, la réduction modulo p et on a qu'un idéal K contenant p est maximal si et seulement si son image f(K) est maximal dans \Large{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X]}, donc si et seulement si f(K) est engendré par un polynôme irréductible sur \Large{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}} (ensuite, il suffit de remonter).

Pour l'autre, c'est du même tonneau : en identifiant \Large{\mathbb{Z}[X]/(X-n)\mathbb{Z}[X]} à \Large{\mathbb{Z}}, on aura qu'un idéal K contenant X-n est maximal si et seulement si son image f(K) est maximal dans \Large{\mathbb{Z}[X]}, donc si et seulement si f(K) est de la forme \Large{p\mathbb{Z}} pour un certain entier premier p (ensuite, on remonte à nouveau).

Kaiser

Posté par
robby3re : Anneau des polynomes de Z[X] 01-10-07 à 21:37

oui voilà!!

je comprend le raisonnement et la suite logique quand tu l'expliques mais jamais j'oserais penser à ça!!

(Z[X] est principal?)

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes de Z[X] 01-10-07 à 21:43

Citation :
je comprend le raisonnement et la suite logique quand tu l'expliques mais jamais j'oserais penser à ça!!


Je te rassure tout de suite : je suis d'accord avec ton prof pour dire que la question était vraiment vache (étant donnée la réponse qu'on a obtenue). Sans indication, il est difficile d'aboutir.

Citation :
(Z[X] est principal?)


Non.
Pour t'en convaincre, raisonne par l'absurde en considérant l'idéal engendré par 2 et X.

Kaiser

Posté par
robby3re : Anneau des polynomes de Z[X] 01-10-07 à 21:48

oki! Tu me rassure un minimum

(ok)

et bien merci à toi pour cette impressionnate réponse!
Encore une fois Kaiser c'est parfait!

(je resposterais des exos du meme type en fin de semain ou le WE prochain )
J'aime bien ces exercices,je trouve ça plus interressant que l'integration )

Bonne soirée donc!
Et à bientot j'espere!
Bon courage pour ta semaine!

Posté par
kaiser Moderateurre : Anneau des polynomes de Z[X] 01-10-07 à 21:56

Mais je t'en prie !
Bon courage à toi aussi et à bientôt !

Posté par
H_aldnoerre : Anneau des polynomes de Z[X] 01-10-07 à 21:56

L'algèbre c'est hard quand même, y'a pas mal de subtilité.

Posté par
robby3re : Anneau des polynomes de Z[X] 01-10-07 à 22:00

pff chui en train de voir l'integration là,les tribus,les premieres de ma vie,j'ai déjà envie de plus les voir!!
c'est trop abstrait contrairement à l'algebre!


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