Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

anneau des séries formelles

Posté par
romu 23-11-07 à 15:29

Bonjour, je bloque sur cet exo:

Citation :
A désigne un anneau commutatif unitaire, et K un corps commutatif.

1) Montrer que l'anneau A[[X]] est intègre si et seulement si A est intègre.

2) Déterminer 1-X dans K[[X]]. Faites de même avec (1-X)^k.

3) Montrer que S=\Bigsum_{k\in \mathbb{N}} est inversible dans K[[X]] si et seulement si a_0 est non nul.

4) Montrer que tous les idéaux de K[[X]] sont de la forme (X^k) pour k\in \mathbb{N}.

Pour les deux premières questions c'est ok, mais après pour la 3)

je n'arrive pas à montrer que si a_0\neq 0 alors S est inversible.

Donc il faut montrer qu'il existe T= \Bigsum_{k\in\mathbb{N}} b_k X^k tel que ST=1.

A partir de la définition du produit, je trouve que nécessairement:

b_0 = a_0^{-1}

b_1 = -a_1 a_0^{-1}

b_2 = (a_1^2a_0^{-1}-a_2)a_0^{-2}

b_3 = (-a_1^3a_0^{-2}+2a_1a_2a_0^{-1}-a_3)a_0^{-2}

b_4 = (a_1^4a_0^{-3} - 3a_1^2a_2a_0^{-2} + 2a_3a_1a_0^{-1}+a_2^2a_0^{-1})a_0^{-2}

Mais je ne vois la relation de récurrence qui nous donne les b_n ?


Merci pour votre aide.

Posté par
Camélia Correcteurre : anneau des séries formelles 23-11-07 à 15:32

Bonjour romu

je suppose que pour 2) il s'agissait des inverses?

Pour 3) tu n'auras pas une relation explicite, mais tu montres par récurrence que si on a déjà b0,...,bn et si a0 est inversible, on peut trouver bn+1

Posté par
romure : anneau des séries formelles 23-11-07 à 15:43

Bonjour Camélia,

oui c'est bien ça pour la question 2), désolé, j'ai un peu mangé l'énoncé

merci pour l'indication pour 3), je vais la suivre.

Posté par
romure : anneau des séries formelles 23-11-07 à 18:34

pour la question 4), on exclut le cas où l'idéal est réduit à \{0\}, non?

Posté par
lolo217re : anneau des séries formelles 23-11-07 à 19:30

disons qu'ils ont oubliés ce cas.

Posté par
romure : anneau des séries formelles 23-11-07 à 19:52

ok merci lolo217.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !