Bonjour coa347.
Si tu considères l'ensemble comme sous-ensemble d'idéaux de , alors est formé de deux éléments maximaux (pour l'inclusion).

Merci jsvdb, mais toujours pas. C'est alors "élément maximal pour l'inclusion" que je n'ai pas compris : ce n'est pas un élément maximal de , dans lequel seraient inclus tous les éléments de (ce qui serait idiot), mais dans cet exemple, chaque élément est son propre maximal.

Que dire alors de ? ne possède pas d'élément maximal, car .

Ou alors, ce serait que cet élément maximal n'appartient pas forcément à l'ensemble ? donc lui-même dans le 1er exemple ?

Tout ensemble à un élément, muni d'une relation d'ordre, possède un élément maximal qui est aussi le plus grand élément.
Ton est dans ce cas car

Erratum :

Ah je crois comprendre. possède 2 éléments maximaux pour l'inclusion :   et .
Cela me paraît trivial (vérifié par tous les anneaux)

Oui, si tu montes les chaînes ça donne ça :





Et tu trouves tes maximaux en bout de chaîne.

Ok merci beaucoup. La phrase "possède un élément maximal" est ambigüe, on croit que l'ensemble n'en possède qu'un seul.

C'est pour ça qu'on dit aussi "possède un et un seul ... " ou "possède un unique ... " pour signifier qu'il n'y en n'a qu'un

Oui je crois comprendre. Un idéal maximal pour un anneau ou pour un ensemble d'idéaux n'a pas un caractère d'unicité.

Par exemple dans Z, tous les idéaux nZ avec n premier sont maximaux.

Merci.

En général on résume cela comme suit :
« Si A est noetherien alors toute suite croissante d'idéaux est stationnaire »
Ou encore
« Il n'existe pas de suite strictement croissante d'idéaux »