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Anneaux
Bonsoir, j'ai du mal à résoudre ce type d'excercice, est ce que je pourrait avoir de l'aide s'il vous plait?
alors voilà l'excercice:
Soit (A,+,.) un anneau et (a,b)
A² tel que a.b est nilpotent.
Montrer que b.a l'est aussi.
Merci d'avance 
Hello,
Petite proposition (à prendre avec des pincettes vu mon aisance toute relative en math 
) :
- Ecris que a.b est nilpotent : cela veut dire qu'il existe n tel que , c'est à dire
.
- Ensuite, dans ce gros tas de produits de (ab), essaie de voir si tu ne peux pas faire apparaître un produit de (ba), en composant des deux côtés de l'égalité (et aux endroits adéquats) par a ou b...
Précision également : la proposition est triviale dans le cas d'un anneau commutatif, mais évident ici il ne faut surtout pas considérer que A est commutatif (sinon il n'y a pas d'exo)
Abcholument ! 
Deux exos supplémentaires pour Samia (tirés de l'excellent bouquin d'exos de Aviva Szpirglas) :
1) Montrer que si un anneau intègre a un élément non nul tel que e² = e, cet anneau est unitaire d'élément neutre e.
2) Un anneau de Boole est un anneau dont tous les éléments sont tels que x² = x. Montrer qu'alors tout élément x vérifie x + x = 0, et qu'un tel anneau est commutatif.
Merci bcp
alors j'ai essayé de faire le premier exo que tu m'as passé.
je vais le mettre dans un autre post.
ok alors
on part de l'hypothése que on a un anneau integre avec e
0 ts e²=e
but: Montrer qu'il est unitaire d'élément neutre e.
On sait qu'un anneau integre n'a pas de diviseur OA==>il n'y a pas d'élément nilpotent
on a donc e²= e.e=OA ==> e=OA ou e=OA
Salut tout le monde,
CC_ >> Il serait judicieux que tu précises ta définition d'un anneau. La défintion de prépa prend la convention "anneau = anneau unifère". Tu risques d'embrouiller samia_10.
samia_10 >> On a jamais dit que e²=e=0. L'exo est plus raffiné que ça.
Ayoub.
j'arrive pas...
bon je vais réessayé...
j'aurai une autre question par rapport à l'exercice que j'ai posté...
Il existe n tel que (ab)n
(ba)n(ba)n=bn(ab)nbn=0
d'où (ba)2nb=0
donc ba est nilpotent.
je ne comprends pas la deuxieme ligne, ca ne serait pas plutot:
(ba)n(ba)n=bn(ab)nan=0
?
merci
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