Bonjour,

pourquoi prends-tu un élément de ?

N'est-ce pas plutôt un élément de dont tu dois prouver que

Vu la formulation de la question, cherche aussi un contre-exemple avec des anneaux et des idéaux connus, comme dans , par exemple.

salut

1/ qui est A ?

soit f : R --> S un morphisme d'anneaux et B un idéal de S

posons

soit a € A et r € R

donc il existe b € B tel que f(a) = b

f(ar) = f(a)f(r) = b f(r) € B car B est un idéal

donc ar € A

pour 2/ c'est le même principe ...

J'ai mal lu ta question.

Effectivement, pour le 1), il faut prendre un élément ,
mais le doit être dans , et non pas dans .

Et pour le 1), pas de contre-exemple, c'est pour le 2).

Erreur de frappe dans le 1) je voulais plutôt écrire " pour montrer que rx € f-1(B)

Avec ce que Carpediem propose j'ai l'impression que le 2) marche également

Ou alors il y aurait un contre exemple ?

vu la rédaction des questions 1/ et 2/ on peut se poser la question de savoir pourquoi l'auteur n'a pas rédigé la question 2/ comme la question 1/ !!!

et la seule façon d'y répondre c'est de raisonner comme pour 1/ (faire un raisonnement complet) et voir là où ça coince ... si ça devait coincé ...

D'accord je rédige

Pour le 2)
Soit s € S, a' € f(A) alors il existe a € A tel que a' = f(A) et il existe r € R tel que f(r) = s

On a alors sa' = f(r)f(a) = f(ra)
Or ra € A car A est un idéal donc finalement on a sa' = f(ra) €  f(A)
D'où le résultat

soit f : R --> S un morphisme d'anneaux et A un idéal de R

posons

soit b € B et s € S    et on veut montrer que bs  € B

donc il existe a € A tel que f(a) = b

bs = f(a)s = ... ?

et c'est alors que le pb apparait !!!

mais quel est ce problème ?

L'existence d'un antécédent par f de s ?

tout à fait !!

et la propriété devient vraie si on travaille dans f(R) :

donc si f : R --> f(R) S et A un idéal de R alors f(A) est un idéal de f(R)

Ah d'accord là je vois mieux merci  c'est plus clair comme ça

de rien