Niveau Licence Maths 1e ann

Anneaux intègres, corps, idéaux

Posté par
Jau 01-10-11 à 16:15

Bonjour, je suis confronté à un énoncé très court :

Soit A un anneau (commutatif unitaire) intègre dans lequel toute suite décroissante d'idéaux est stationnaire. Montrer que A est un corps.

J'ai essayé d'utiliser les définitions mais je ne vais pas loin, puisqu'il faut choisir un élément x non nul de A et lui construire un inverse.
Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Posté par re : Anneaux intègres, corps, idéaux 01-10-11 à 16:20

Salut!
Regarde la suite (a^n), pour n croissant, c'est une suite decroissante d'ideaux...

Posté par re : Anneaux intègres, corps, idéaux 01-10-11 à 17:00

Merci pour l'indication !
Si on prend la suite $(I_n)$ où les $I_n$ sont les idéaux engendrés par $x^n$ on est bien en la présence d'une suite décroissante d'idéaux de $A$ .
En effet, soit $i$ dans $I_{n+1}$ , $i$ $=$ $ax^{n+1}$ avec $a$ dans $A$ , donc $i$ $=$ $axx^n$ avec $ax$ dans $A$ , donc $i$ est bien dans $I_n$ .
La suite $(I_n)$ est donc stationnaire et il existe un rang $N$ tel que $I_n$ $=$ $I_N$ pour tout $n$ supérieur ou égal à $N$ . En particulier pour $N+1$ .
$x^N$ est dans $I_N$ , donc dans $I_{N+1}$ , donc $x^N$ $=$ $ax^{N+1}$ avec $a$ dans $A$ , puis $x^N(1-ax)$ $=$ $0$ et comme $A$ est intègre il vient que $x$ $=$ $0$ (ce qui n'est pas) ou $1-ax$ $=$ $0$ , donc en fait $ax$ $=$ $1$ et $x$ est inversible.

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