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Application adjointe
Bonsoir,
Je bloque sur un exercice portant sur une application linéaire ( apparemment du nom : application adjointe, même si je pense que cette appellation est réservé aux endomorphismes adjoints dans les espaces préhilbertiens ... ).
Soit un
espace vectoriel de dimension finie
et
une sous-algèbre de
telle que pour tout
dans
, on a
est diagonalisable.
Soit .
On pose telle que :
.
Prenons valeur propre de
et
vecteur propre associé.
Je dois montrer que
et en déduire que est commutative et de majorer sa dimension.
En fait, je sais que si on travaillait sur à la place de la sous-algèbre, alors
est diagonalisable ( on travaille avec les endomorphismes
et
qui sont diagonalisables car u l'est, et commutent entre deux, donc codiagonalisbles )
Mais n'arrive pas à montrer cette relation : . Et je doute que la diagonalisabilité sur
. Je ne vois pas comment exploiter le fait que
ne contient que des endomorphismes diagonalisables.
Mais il est clair qu'elle implique que la seule valeur propre possible est (sinon, on a une infinité de valeurs propres, ce qui est impossible car
et
est de dimension finie). Cela donne que
est nilpotente. Pour déduire que
est commutative, il suffit que
soit diagonalisable comme ca on a
, et on comme je l'ai dit plus haut, on peut voir
comme un endomorphisme induit sur
par un endomorphisme diagonalisable, donc elle est diagonalisble et donc nulle (car nilpotente). Donc
commutative.
Mais je ne vois pas comment majorer la dimension de . Je sais que c'est le noyau de
mais rien d'autre.
J'espère que vous pourrez m'aider à résoudre cet exercice.
Merci d'avance,
Bonsoir,
est un vecteur propre associé à la valeur propre
de
.
On veut montrer que si admet une valeur propre, alors cette valeur propre est forcément nulle. (Enfin, je suppose que c'est le but de l'exercice)
Si w 
L(E) et k 
wk a un sens .
Si on suppose que uw - wu = t. w alors
uw² - w²u = (uw - wu)w + w(uw - wu) = tw² + w(tw) = 2t.w²
Si on suppose que uwn - wnu = tn. w n alors
uwn+1 - wn+1u = (uwn - wnu)w + wn(uw - wu) = tn.wn+1 + wn(t.w) = (tn + t).wn+1
donc tn+1 = tn + t
.....
Bonjour,
jsvdb wk désigne l'endomorphisme obtenu par composition de w avec lui même k fois. Et avec la convention w0 c'est l'identité de E.
Merci pour votre réponse, je tentais de remplacer le w (en distinguant si t est nul ou non...)
Pour montrer que A est commutative, est-ce que mon raisonnement est correct s'il vous plaît ? On voit 
comme un endomorphisme induit d'un endomorphisme diagonalisable, donc elle est diagonalisable mais sa seule valeur propre possible est 0, donc elle est nulle. Donc A commutative (plutôt tous les éléments de A commutent avec u, et u est quelconque dans A).
Pour la majoration de la dimension de A, on fait comment s'il vous plaît ?
Merci d'avance,
Bonjour !
Pas d'accord avec certaines de tes affirmations !
Il est vrai que est diagonalisable lorsque
est diagonalisable mais ton argument de co-diagonalisation par commutativité, je ne le vois pas !
Il faudrait une démonstration correcte.
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On a déjà donné une piste par récurrence pour établir
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Ton argument disant que la seule valeur propre de est nulle, ne tient pas !
Pour dire que est valeur propre il faut être sûr de la non nullité de
.
Il faudrait donc envisager le cas où les vecteurs propres de sont nilpotents .
Bonsoir,
Merci pour votre réponse.
Je voulais dire que lorsque u est diagonalisable, alors les endomorphismes v
uv et vvu sont diagonalisables. Et ils commutent entre deux, donc ils sont codiagonalisables. Dans une base adaptée à la codiagonalisation, la différence de ces deux endomorphismes est diagonale et donc on déduit que l'endomorphisme vuv-vu est diagonalisable. Je ne sais pas où se trouve la faute de mon raisonnement.
Sinon, je ne trouve pas d'autre façon de démontrer que lorsque u est diagonalisable alors vuv-vu l'est aussi.
J'avoue que j'ai oublié que w pouvait être nilpotent...
Merci de me l'avoir indiqué.
Si tu avais précisé les endomorphismes permutables utilisés, je n'aurais pas posé la question !
...................................
Soit un vecteur propre de
associé à
.
Par récurrence sur on montre que
.
Comme (vecteur propre) et diagonalisable (élément de
) il ne peut être nilpotent et il en résulte
.
.................................
est la restriction à
(stabilité évidente) de l'endomorphisme
.
Par conséquent est diagonalisable et n'admet que la valeur propre 0 ce qui entraîne
algèbre commutative.
................................
Pour la majoration de la dimension de je ne vois que ceci :
Soit une base de vecteurs propres de
.
On dispose alors de la base des endomorphismes élémentaires définis par
symbole de Kronecker et ce sont des vecteurs propres pour
attention, pas pour la restriction
à
.
En effet (*)
soit
(*) attention au remplacement justifié de par
C'est une autre méthode pour montrer que est diagonalisable.
On a et on veut trouver la dimension de ce dernier espace.
C'est évidemment le nombre de valeurs propres nulles de .
Soit l'ensemble des valeurs propres distinctes de
ayant la multiplicité
.
est valeur propre de
si et seulement si existe
tel que
En notant l'espace propre associé à
pour
aura pour dimension
La dimension du noyau de est alors
et c'est un majorant pour la dimension de
.
n.b. Je ne vois pas comment le montrer mais le choix de ne devrait pas avoir d'importance : pour
. Attention encore à ne pas confondre avec
dont les noyaux peuvent être distincts.
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