Niveau Maths sup

application affine au secours

Posté par lolomiss (invité) 19-11-07 à 15:05

bonjour, j'ai un devoir maison à rendre fin de semaine et j'avoue que je suis complètement perdue alors si quelqu'un peut m'aider très vite ce serait super cool
donc voila mon exo :

dans Kn( c'est puissance n) on considère 2 repères cartésiens
R= ( 0, e1 ......., en)
et R' = (0', f1......., fn)
on note XM les coordonnées d'un point M dans le répère R et XM' ses coordonnées dans le répère R'.

on suppose que les coordonnées de 0' dans le répère R sont données par Xo' = ( w1,.., wn) et que les vecteurs fj s'écrivent dans la base
(e1.., en) de la façon suivante (f1..fn)=(aij) avec 1<=i,j<=n
= A appartenant a Mn(K)

a) exprimer fj en fonction des ei
b) expliquez pourquoi (en supposant K commutatif de caractéristique différente de 2) le déterminant de A est non nul
c) montrer que l'application de changement de coordonnée XM vers XM' definit une application affine sur Kn que l'on précisera
d) exprimer l'application inverse Xm' vers Xm à l'aide de la matrice A et du vecteur ( w1...wn)

merci beaucoup de vos réponses

Posté par application affine au secours 19-11-07 à 16:38

Bonjour.

Je pose :

$2$\textrm X_M = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\ \\ . \\ . \\ . \\ \\x_n\end{pmatrix}$
les coordonnées du vecteur OM sur la première base B

$2$\textrm Y_M = \begin{pmatrix}y_1\\y_2\\ \\ . \\ . \\ . \\ \\y_n\end{pmatrix}$
les coordonnées du vecteur O'M sur la première base B

$2$\textrm X^'_M = \begin{pmatrix}x^'_1\\x^'_2\\ \\ . \\ . \\ . \\ \\x^'_n\end{pmatrix}$
les coordonnées du vecteur O'M sur la seconde base B'.

$2$\textrm b = \begin{pmatrix}w_1\\w_2\\ \\ . \\ . \\ . \\ \\w_n\end{pmatrix}$
les coordonnées du point O' dans R, donc du vecteur OO' sur la première base B.

Par définition, A est la matrice de passage de B à B', donc elle est inversible. De plus, les formules de changement de base donnent : Y_M = A.X'_M

Maintenant écrivons l'égalité vectorielle fondamentale : OM = OO' + O'M

Projetons cette égalité dans la base B :

X_M = b + Y_M

X_M = b + A.X'_M ou : X_M = A.X'_M + b

C'est bien l'expression d'une application affine.

A plus RR.

Posté par lolomiss (invité)re : application affine au secours 19-11-07 à 23:25

merci de ton aide

mais comment tu fais pour determiner la matrice A ? et comment sais-tu que le determinant de la matrice est nul ??

excuse moi je suis un peu perdue, tu dois te demander comment ca se fait que je suis en licence mais c'est vrai que cette année je rame un peu bcp....

alors si tu pouvais développer un peu ton explication ca m'eclairerait beaucoup
excuse moi de te deranger une nouvelle fois

Posté par re : application affine au secours 19-11-07 à 23:42

Bonsoir.

Pas de honte à avoir, nous sommes tous passés par des moments difficiles.
D'abord, A est la matrice de passage d'une base à une autre, elle se construit en mettant en colonnes les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base par rapport à l'ancienne (c'est ce qui est indiqué dans ton énoncé). Donc, son rang est n : elle est inversible et det(A) est non nul.

De plus, on sait (essaie de revoir ton cours à ce sujet) que si X est la matrice colonne des coordonnées d'un vecteur u sur l'ancienne base B et X' la matrice colonne des coordonnées de u sur la nouvelle base, alors :

$3$\textrm\fbox{X = A.X^'}$

Je donnais à mes élèves la notation suivante

$4$\textrm\fbox{\Big(\fra{u}{B}\Big) = \Big(\fra{B^'}{B}\Big).\Big(\fra{u}{B^'}\Big)}$

$3$\textrm\Big(\fra{u}{B}\Big)$ : matrice colonne des coordonnées de u sur B

$3$\textrm\Big(\fra{B^'}{B}\Big)$ : matrice de passage coordonnées de B' par rapport à B

$3$\textrm\Big(\fra{u}{B^'}\Big)$ : matrice colonne des coordonnées de u sur B'

A plus RR.

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