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application lineaire
bonsoir tout le monde,
dans un exercice on nous donne E1 et E2 2 esp.vectoriel et f L(E1,E2), et on nous demande de montre que l'app.G:E1*E2--------E1*E2
(u,v)--------(u,v-f(u))
est un isomorphe.
j'ai montré qu'elle est linéaire et injective mais pour la surjection je n'arrive pas à le faire , est ce qu'il suffit de montrer que dim(imG)=dim(E1*E2) ou non?
merci d'avance de votre aide.
Bonsoir, ton idée est bonne :
l'injection suffit car l'espace de départ et d'arrivée ont des dimensions égales. D'après un théorème du cours, le théorème dit des dimensions finies. ( En gros dans ces conditions injective équivaut à bijective équivaut à surjective )
Bonsoir.
Pour la surjectivité, on se pose la question suivante :
étant donné (a,b) € E1
E2 (but), existe-t-il (x,y) € E1E2 (source) tel que (x,y-f(x)) = (a,b) ?
On résout :
x = a
y - f(x) = b
Cela donne : x = a et y = b + f(a)
Conclusion : tout couple (a,b) possède un antécédent. L'application est bien surjective.
A plus RR.
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