Inscription / Connexion Nouveau Sujet
application linéaire
Bonsoir à tous,
voilà je recherche de l'aide pour un exercice dont voici l'énoncé:
" 1) Quelle est la forme générale des applications linéaires de R^3 dans R ?
2) Soit h: R^3 ----> R une telle application. Si h n'est pas identiquement nulle, quelle est la dimension de son noyau, de son image ? "
Pour la 1) je pense que ce sont les applications du type
(x,y,z) ---> ax+by+cz
après pour la 2) je ne vois pas comment commencer.
[peut être avec le théorème du rang : dim R^3(=3)=dim du noyau + dim image
mais il faudrait trouver l'un ou l'autre]
Merci par avance.
Bonsoir.
Commence par t'intéresser à l'image : c'est un sous-espace vectoriel du but, donc, peu de choix.
Salut 
Pour le 1) je suis d'accord (cela se justifie par le choix d'une base (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)) on a alors f( (x,y,z) ) = x f(1,0,0) + y f(0,1,0) + z f(0,0,1)
pour le 2, si h n'est pas nulle, que peux tu dire de l'image de h ? (réfléchis en terme de dimension)
Merci à ceux qui m'ont répondu,
.voilà j'ai trouvé cette proposition :
les hyperplans sont exactement les noyaux des formes linéaires non nulles.
or dans un espace de dimension finie n, les hyperplans sont donc les sous-espaces vectoriels de dimension n-1
ici h est une forme linéaire sur R^3 donc dim du noyau = 2
.si on part de l'image,
comme h est non nulle, alors elle est sujective : Im(h)=R
donc dim Im(h) = dim(R)=1
(par contre je ne sais pas comment expliquer le lien entre h non nulle et le fait que ce soit une surjection)
On a donc bien 3 = 1+2
Est-ce juste ?
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac