Inscription / Connexion Nouveau Sujet
application linéaire et isomorphisme
Bonsoir,
Voici l'énoncé:
On considère l'endomorphisme de R3 défini par :
f(1, 0, 0) = (1, 0, 2) f(0, 1, 0) = (0, 2, 6) f(0, 0, 1) = (−2, 2, 2)
1. Soit (x, y, z) ∈ R3. Exprimer f(x, y, z).
2. Trouver une base de Imf et en donner une description cartésienne.
3. En déduire dimKerf. Donner une base de Kerf.
4. Vérifier que Kerf et A = V ect((1, 1, 0),(1, 0, 1)) sont supplémentaires dans R3
5. Montrer que l'application g de A dans R3 définie par :
g(1, 1, 0) = (1, 0, 2) g(1, 0, 1) = (0, 2, 6)
est un isomorphisme de A sur Imf
Alors voila, j'ai fait les 4 ères questions mais la dernière me pose problème:
Je pense que g : R3 ---> R3 donc il faudrait montrer que ker(f) = 0(R3) pour avoir l'injectivité et donc la bijectivité. Mais je comprends pas trop " isomorphisme de A sur Imf"
J'ai que Imf est en fait un plan P:2x+3y-z=0
Merci d'avance
Bonjour
isomorphisme de A sur Im f signifie application linéaire de A dans Im f qui est de plus bijective
tu peux remarquer que g(1,1,0) = f(1,0,0) et donc est dans Im f, de la même manière g(1,0,1) = f(0,1,0) donc est lui aussi dans Im f
à partir de là tu peux montrer que les images par g de tous les éléments de A sont dans Imf
Merci pour votre réponse rapide
On sait que (1,1,0) et (1,0,1) sont libres donc quel que soit les vecteurs du plan A, ils sont inclus dans f(x,y,z)...
Est-ce que l' application g : R2 --> R2 ? R3 --> R3 ?
Je comprends pas parce que dim(A)= dim (imf) = 2 mais les égalités montrent des vecteurs de R3...
A et Imf sont des sous espaces vectoriels de dimension 2, mais n'en sont pas moins des sous espaces vectoriels de IR3...
(1,0,2) et (0,2,6) sont libres donc g(1,1,0) et (1,0,1) sont libres aussi
Donc {g(1,1,0), g(1,0,1) } est une base de Im(f)
Bonsoir
D'autre part un vecteur n'est pas libre ou lié, ça n'a aucun sens... En revanche écrire "((1,0,2)) est libre dans R^3" a un sens (et est une affirmation vraie).
Au fait que quels que soient les éléments de Imf, il y en a un de A qui lui correspond
Et puis après je pensais utiliser les matrices et montrer directement que le déterminant est non nul et donc qu'elle est bijective mais je vois pas les matrices
Au fait que quels que soient les éléments de Imf, il y en a un de A qui lui correspond
tu peux le prouver ? si oui, tu auras prouvé que g est surjective de A sur Im f
du coup j'ai juste à montrer que kerf = 0 comme ça elle sera injective et donc surjective vu que c'est un endomorphisme
(1,0,2) et (0,2,6) sont libres donc g(1,1,0) et (1,0,1) sont libres aussi
Donc {g(1,1,0), g(1,0,1) } est une base de Im(f)
il y avait quelque chose à exploiter là dedans, si tu savais mieux ton cours
J'ai une proposition du cours qui dit : " soit f: E -->F une application linéaire avec E et F des sev de Rn.
B = {e1,e2,...ep} est une base de E, alors Im(f) =Vect(f(e1),f(e2),...f(ep))"
Je pense qu'il faut utiliser ça non ? avec la fonction g
Je crois avoir trouvé un truc:
g: A --> Imf
une base de A est {(1,1,0),(1,0,1)} car les vecteurs sont linéairement indépendants
Img= Vect((1,0,2),(0,1,3 ))
Et si on utilise le théorème du rang, on a dim(A) = dimKer(g) + dimIm(g)
Or dim A = 2 = dim Im donc forcément dimKer(g) =0 et Kerg =0(R2)
Du coup, g est injective et vu que dimA= dim Imf = 2, c'est équivalent à dire que g est surjective
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac