Bonjour.

Par définition les colonnes de A sont les cordonnées des images des vecteurs de la base. Ici :



Im(T) est engendrée par T(e₁), T(e₂), T(e₃).
Tu remarques que T(e₁) et T(e₃) sont indépendants, donc, une base de Im(T) sera :
B_Im(T) = (e₃, - e₁ + e₂ + e₃)

Pour trouver une base de Ker(T), tu résous l'équation A.X = O.
Tu verras que les solutions sont du type : x.(1,0,-1) = x.(e₁ - e₃)
Donc : B_Ker(T) = (e₁ - e₃)

A plus RR.

oh merci raymond

Juste une autre question dans mon exo vu que tu maitrises ton sujet :

On pose f1=e1-e3, f2=e1-e2, f3=-e1+e2+e3.

Je dois montrer que (f1,f2,f3) constitue une base de R^3 puis après je dois exprimer e1,e2,e3 en fonction de f1,f2,f3

Ecris la matrice des f_i et cherche son rang (méthode du pivot si tu connais).

Pour la suite, tu dois trouver x,y,z tels que : e₁ = x.f₁+ y.f₂ + z.f₃
Sauf erreur, on trouve le système :

x + y - z = 1
- y + z = 0
-x + z = 0

En fait, ce sera pratiquement le même système pour e₂ et e₃ : seule la colonne de droite change.
Je te conseille d'appliquer le pivot avec les trois en même temps :

x + y - z = 1 | 0 | 0
- y + z = 0 | 1 | 0
-x + z = 0 | 0 | 1

A plus RR.

ok, en effet je m'étais un peu égaré

Merci beaucoup raymond