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Application lineaire, noyau de f, base du noyau, rang de f etc..
Soitf:R5-->R4 l'application linéraire par f(v)=(y1,y2,y3,y4) ou:
y1=x1+2x2+x3+3x4+x5
y2=2x1+3x2+x3+4x4+x5
y3=x1+4x2+3x3+7x4+3x5
y4=4x1+6x2+2x3+8x4+2x5
questions
1-Ecrire A la matrice de f dans les bases naturelles de R5 et R4
2-Determiner le noyau de f et une base du noyau
3-Determiner le rang de f et une base de Im(f), l'iamge de f.
4-Facultatif:construire des bases de R5 et R4 telles que la représentation matricielle de f dans ces bases contienne deux 1 et des zeros.
1 la systeme est de la forme Y=A X ou est la matrice:
Y=(Y1,Y2,Y3,Y4) en colonne de meme pour X=(x1,x2,x3,x4,x5)
la matrice A est
1ere ligne:1 2 1 3 1
2eme ligne:2 3 1 4 1
3eme ligne:1 4 3 7 3
4eme ligne:4 6 2 8 2
2- Le noyau de f est:===> f(v)=0
x1+2x2+x3+3x4+x5=0
x2+x3+2x4+x5=0
x1 etx2 inconnues principales
x3,x4 et x5 variables libres
Base du noyau
Pour x3=x4=x5=1 d'ou x2=-4 et x1=3
vect1=(3,-4,1,1,1)
Pour x3=x4=0 et x5=1 d'ou x2=-1 et x1=1
vect2=(1,-1,0,0,1)
Ces 2 vecteurs forment une base du noyau
3-rang (f):2 ===> s=n-r ==> r=n-s = 5-3=2
Base de Im(f) sont les vecteurs (1,2,1,3,1) et(0,1,1,2,1)
L'image de f est:
f(1,0,0,0)=(1,2,1,3,1)
f(0,1,0,0)=(2,3,1,4,1)
f(0,0,1,0)=(1,4,3,7,3)
f(0,0,0,1)=(4,6,2,8,2)
Y a t'il une personne seulement sur le site qui peut vérifier si ce que j'ai fait est bon.
Merci d'avance
Bonsoir.
Tout d'abord, f : R5 -> R4 signifie que Ker(f) est un sous-espace de R5 et que Im(f) est un sous-espace de R4.
Une méthode du pivot de Gauss donne comme transformée de A = Mat(f) :
1 2 1 3 1
0 -1 -1 -2 -1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
En observant cette matrice, on voit que Rg(f) = 2. Donc :
Dim(Ker(f)) = 3 et Dim(Im(f)) = 2.
Effectivement, comme tu le signales, Ker(f) a pour équation :
Intersection de deux hyperplans indépendants de R5 : Ker(f) est bien de dimension 3.
Pour trouver une base de Ker(f), il faut donc trois vecteurs de R5 indépendants obéissant à ce système.
Je te propose le "truc" suivant.
Le système précédent me donne :
Que l'on peut écrire sous forme de matrice colonne :
On décompose :
Ce qui te fournit les trois vecteurs colonnes cherchés.
Pour trouver une base de Im(f), il suffit de prendre deux vecteurs de R4 indépendants dans Im(f).
Je penche pour les deux premeirs vecteurs de base de ta matrice initiale :
En espérant ne pas avoir commis trop d'erreurs de frappe. A plus RR.
ca vien d'ou ca les deux equations ?
x1+2x2+x3+3x4+x5=0
x2+x3+2x4+x5=0
2- Le noyau de f est:===> f(v)=0
x1+2x2+x3+3x4+x5=0
x2+x3+2x4+x5=0
x1 etx2 inconnues principales
x3,x4 et x5 variables libres
Base du noyau
Pour x3=x4=x5=1 d'ou x2=-4 et x1=3
vect1=(3,-4,1,1,1)
Pour x3=x4=0 et x5=1 d'ou x2=-1 et x1=1
vect2=(1,-1,0,0,1)
Ces 2 vecteurs forment une base du noyau
Bonsoir Hades
ca vient du systeme de départ
tu echelonnes le systeme en utilisant le pivot de gauss tt simplement.
ciao
Bonsoir, comment arrives tu aux deux lignes à 0 ca je comprend pas :s
1 2 1 3 1
0 -1 -1 -2 -1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
Je ne peux pas t'aider car je n'ai ni la patience ni le temps.Et j'essaye de terminer mon devoir tout seul.
Cherche comment échelonner une matrice ou un systeme à plusieurs inconnues. Sinon, tu poses ta question en faisant un nouveau topic.Demande à raymond, il explique bien.
Bonne soirée, et je t'en prie. Ne réponds plus sur ce topic. merci
c'est bon j'ai trouvé 
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