Bonsoir

pour le noyau, f(v)=(-x1+x2,x1+x2+2x3,x1-x2) =(0;0;0) <==> <==> <==>
le noyau est donc de dimension 1, donc le rang est 2

ta matrice A est OK

pour 3), tu as déjà la réponse pour v. pour la suite, ça revient aussi à résoudre des systèmes 3x3

pour la question3
Résoudre f(v)=v1 ca revient a résoudre le systeme suivant?:

x1+x2=1
x1+x2+2x3=1
x1-x2=-1

est-ce que je me trompe ou pas?
le résultat donnera le vecteur v2

Je trouve v2=(0,1,0) et v3=(1,1,-1/2)
maintenant a savoir si c'est bon je ne sais pas

Bonjour
13:22 : il manque un moins au tout début de la première ligne de ton système, mais sinon, c'est OK

v2 et v3 sont OK

Pour la question 4, comment on vérifie que v1,v2 et v3 est bien une base de ³. Je veux juste des indications est non la réponse, pour chercher

la nouvelle matrice dans la nouvelle base
1 0 1
1 1 1
-1 0 -1/2

pour la question 5, je crois qu'il faut calculer:
det(f-I)=0
Est-ce que je me trompe?

A bientot
maxou

pour vérifier que 3 vecteurs en dim 3 forment une base, il suffit de vérifier qu'ils sont linéairement indépendants

ta matrice est fausse : V1 étant dans le noyau, son image est nulle donc la première colonne aussi. ensuite f(v2)=v1 = 1v1 + 0v2 + 0v3, donc la deuxième colonne contient dans l'ordre 1 0 0 etc

Dans la nouvelle base, la matrice est diagonale : les valeurs propres se lisent sur la diagonale

v1=(1,1,-1)
v2=(0,1,0)
v3=(1,1,-1/2}

je n'arrive a comprendre comment on trouve la deuxieme colonne.

v2 a été déterminé en résolvant f(v)=v1, donc f(v2)=v1 = 1.v1 + 0.v2 + 0.v3

ce n'est pas tres clair pour moi
je n'arrive pas à comprendre comment on trouve
f(v2)=v1=1.v1+0.v2+0.v3

Je vais méditer quelques jours pour trouver
A bientot
maxou

Bonsoir,
Y a t-il une personne pour m'expliquer, comment on fait pour trouver la matrice dans la nouvelle base.
Personnellement je pensais qu'il suffisait de mettre les 3 vecteurs v1,,v2 et v3 en colonnes?
a bientôt
maxou

Bonsoir maxou_n.

J'ai repris toutes les questions antérieures pour me mettre dans le sujet.

On arrive donc à B' = (v₁ , v₂ , v₃) base.

Pour trouver la matrice de f dans B', il faut calculer f(v₁) , f(v₂) , f(v₃) et les exprimer dans la base B'.

Or, ceci est évident par la construction même de ces vecteurs. En effet :

v₁ est dans Ker(f) donc f(v₁) = 0 ( = 0.v₁ + 0.v₂ + 0.v₃)

Par l'énoncé, f(v₂) = v₁ ( = 1.v₁ + 0.v₂ + 0.v₃)

Par l'énoncé, f(v₃) = v₂ ( = 0.v₁ + 1.v₂ + 0.v₃)

Donc :



A plus RR.

Bonsoir raymond

Pour la question 5

f³=f*f*f=0 que ce soit dans les deux bases. base de départ B et base d'arrivée B'

Ce résultat etait prévisible pour la simple raison que l'application f est un endomorphisme de R3 dans R3.

Est-ce que mon raisonnement est correcte et suffisante?

Bonne soirée

Maxou

On doit trouver f³ = O (endomorphisme nul).

Ceci peut se prouver directement à l'aide de la dernière forme de Mat(f,B') = A'.

On calcule facilement que : (A')³ = O

D'autre part, si A est la matrice initiale et si P est la matrice de passage de B à B'on a :

A' = P^-1AP => A = PA'P^-1 => A³ = (PA'P^-1)³ = P(A')³P^-1 = P.O.P^-1 = O

On peut aussi voir que :

f(v₁) = 0 (car v₁ dans Ker(f)), donc f³(v₁) = 0

f(v₂) = v₁ => f²(v₂) = f(v₁) = 0, donc f³(v₂) = 0

f(v₃) = v₂ => f³(v₃) = f²(v₂) = 0, donc f³(v₃) = 0

Ainsi f³ s'annule sur B', donc f³ = O.

A plus RR.

J'avais aussi trouvé f³=0 avec mat(f,B')

Une question sur les vecteurs v1, v2 et v3 si on met ces 3 vecteurs dans l'ordre et en colonne: ca donne bien la matrice de Passage P?

Comment je démontre que ces 3 vecteurs en question forment une base?
Est-ce que je dois les echelonner de tels sorte que ces 3 vecteurs soient libres et indépendants.

Une autre question je n'arrive pas à retrouver les valeurs propres de f en calculant directement le det(A-I)=0

Pour Résoudre le système différentiel
X'(t)=A X't) avec X(t)=(x1(t),x2(t),x3(t))
Est-ce que je m'y prends bien?
A=PDP^-1
avec D=mat(f,B')
Par conséquent e^At=Pe^DtP^-1

Bonjour.

¤ effectivement, c'est ainsi que l'on construit la matrice de passage P.

¤ tu peux calculer le déterminant de P en développant sur la deuxième colonne. Si tu ne connais pas, alors échelonne par le pivot de Gauss.

¤ le polynôme caractéristique est indépendant de la base, donc effectue le calcul avec Mat(f,B'). Pourtant, avec la matrice initiale, je trouve également det(A - xI) = - x³

¤ Je note X le vecteur X(t) dans la base B et Y ce vecteur dans la base B'. On sait que la formule de changement de base est X = PY ou Y = P^-1X et quand on dérive : X' = PY' ou Y' = P^-1X'

Alors :

X' = AX <=> P^-1X' = P^-1AX <=> Y' = (P^-1AP)Y <=> Y' = A'Y.

Cela donne le système différentiel :



Il se résout aisément. Cela te donne Y. Il faut alors revenir à X en calculant X = P.Y

A plus RR.

J'aurai voulu savoir si je pouvais
utliser ma méthode que j'ai décris plus haut
avec D etant la matrice dans la nouvelle Base B'?

Et quand je calcule
Y'=A' Y
je trouve
y1'=y2
y2'=y3
y3=0
et non
y1'=y2+y3

Je trouve en calculant X=P.Y

x1(t)=1/2 Ct²+2C
x2(t)=1/2Ct²+Ct+2C
x3(t)=1/2Ct²+1/2C

Bonjour raymond

Pour la question 6, résoudre le système différentiel

X'=AX
X=PY
X'=PY'

X'=AX devient X=P exp^JtY(₀)

La matrice J est:
010
001
000

La matrice Jt devient:

0t0
00t
000

La matrice e^Jt est:

e⁰,te^t,0
0,e⁰,te^t
0,0,e⁰

X(t)=P exp^JtY(0)

x1(t)=a+b te^t+c              a=y1(0), b=y2(0), c=y3(0)
x2(t)=b+cte^t
x3(t)=-a-bte^t-0.5c