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Application norme

Posté par
coa347 28-06-19 à 12:07

Bonjour,

Concernant la division euclidienne dans un anneau, par exemple \Z[i], savez-vous pourquoi on appelle l'application N : \Z[i] \rightarrow \N, a+ib \mapsto a^2+b^2 une norme ?
En effet, cette application ne vérifie pas les axiomes 2 et 3 d'une norme, qui sont :
N (\lambda  x)=| \lambda| N(x), N(x+y)=N(x)+N(y)

Merci d'avance.

Posté par
coa347re : Application norme 28-06-19 à 12:10

Je voulais dire : N(x+y) \leq N(x)+N(y)

Posté par
jsvdbre : Application norme 28-06-19 à 12:32

Bonjour coa347.
Déjà, on sait que le module sur \C est \sqrt {a^2 +b^2}, qui est une norme. Et si on enlève la racine, ce n'est plus une norme. Donc pourquoi appeler une norme ce qui n'est pas une norme ... sans doute un bug de conception.

En général, quand on parle de division euclidienne dans un anneau, l'application que l'on utilise s'appelle un stathme euclidien. Et il me semble que sur les entiers de Gauss, le stathme classique  est le module, et pas le module au carré.

Un stathme euclidien sur A est une application v : A\setminus \{0\}\rightarrow \N  vérifiant les deux propriétés :

{\displaystyle (1)\quad \forall a\in A\quad \forall b\in A\setminus \{0\}\quad \exists q,r\in A\quad {\text{tels que}}\quad a=bq+r\quad {\text{et}}\quad r=0\;\,{\text{ou}}\;v(r)<v(b),}

{\displaystyle (2)\quad \forall a,b\in A\setminus \{0\}\quad v(b)\leq v(ab).}

Ce mot vient du grec et signifie à l'origine cordeau, règle, mesure puis niveau. L'idée est que le stathme permet de classer les éléments par niveau (par exemple, pour les polynôme, le niveau est le degré).

Posté par
coa347re : Application norme 28-06-19 à 14:14

Bonjour jsvdb,
Merci pour ta réponse très complète, qui répond exactement à ma question.

L'appellation "stathme" serait donc plus adaptée que "norme".  
Pour les entiers de Gauss, c'est bien le module au carré qui est utilisé, et pas le module.
D'ailleurs je ne vois pas très bien pourquoi on utilise (dans tous les exemples que j'ai vus) la norme au carré, et pas la norme.


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