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Application orthogonale - Démonstration
Rebonsoir,
J'aurais besoin d'un tout dernier coup de main avant mon partiel d'algèbre linéaire, si quelqu'un a un peu de temps devant lui.
L'idée est de démontrer que pour toute application orthogonale U−1 = Ut
Là où j'en suis :
Pour une application orthogonale U, j'ai relevé les propriétés suivantes :
* U est inversible
* det(U) = ± 1
* < Ux, Uy > = < x, y >
* et bien sûr U-1 = Ut
Je ne sais pas du tout par où commencer la démonstration de ce dernier point... Faut-il se servir des autres propriétés ?
Merci d'avance à la personne qui pourra m'éclairer (ou au moins me donner des pistes pour commencer) !
Bonsoir,
pour démontrer une propriété des applications orthogonales il faut une définition de ce qu'est une application orthogonale.
Quelle est celle que tu utilises ?
Tout d'abord, merci de votre réponse.
La définition indiquée dans mon cours est :
U:E --> E
L'application linéaire U est orthogonale si pour tous x,y appartenant à E, < Ux, Uy > = < x, y>
Mais très honnêtement, je ne vois pas vraiment de quel côté partir en utilisant cette définition...
Si j'ai bien compris, j'obtiens alors :
< Ue1 , Ue1 > = < e1, e1 > = IIe1II²
< Ue1, Ue2 > = < e1, e2 > = 0
et plus généralement :
< Ue1, Uen > = < e1, en > = 0
Je me suis peut-être trompé, mais j'ai du mal à faire apparaître que U-1 = Ut ... Il me manque sans doute le déclic.
Après réflexion, j'ai peut-être trouvé une manière de procéder en utilisant votre indication... Je ne sais pas s'il s'agit de celle à laquelle vous souhaitiez me faire parvenir :
< Ux, Uy > = < x, y> (par définition)
On a également :
< Ux, Uy > = < UtUx, y >
Je ne sais pas si on peut faire une analogie entre les deux expressions... Car on pourrait poser que :
UtUx = x
(par unicité de l'application ?)
Et dans ce cas on aurait : UtU = I
d'où Ut = U-1
Qu'en pensez-vous ?
Je ne vois pas d'où vient ceci :
< Ux, Uy > = < UtUx, y > .
Mon idée est que dans le produit de deux matrices carrées l'élément
est le produit matriciel de la ligne i de A par la colonne j de B.
Quand on calcule l'élément
est
, sauf si je me suis trompé dans les indices.
Ce qui suffit pour conclure.
Sur ce je m'arrête.
À demain, si tu as encore des questions.
Très bien, merci beaucoup pour votre aide !
La propriété que j'ai utilisée nous a été donnée dans le cours, je n'en ai pas la démonstration pour autant.
Je regarderai tout ceci demain à tête reposée.
Bonne soirée, à demain peut-être 
Bonjour,
oui ton calcul de 22H45 est correct , l'identification vient du fait que le produit scalaire est non dégénéré < A x, y>= <x, y> pour tout x,y s'écrit aussi <Ax - x , y> =0 donc Ax-x est orthogonal à tout l'espace donc nul.
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