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Applications de sous ensembles

Posté par
gui_tou 19-11-07 à 21:37

Bonjour à tous

Voici un énoncé assez court, mais bougrement dur à comprendre pour un jeune inexpérimenté que je suis.

Citation :
\Large \rm A et \Large \rm B sont deux sous ensembles de \Large \rm E.

On définit l'application \fbox{\Large \rm f\;:\;\scr{P}_{(E)}\,\to\,\scr{P}_{(A)}x\scr{P}_{(B)}\\\forall X\in\scr{P}_{(E)}, f(X)=(A\cap X,B\cap X)



Je propose la traduction : f est l'application qui, à des sous ensembles de \Large \rm E associe deux sous ensembles, \Large \rm A et \Large \rm B inclus dans \Large \rm E.

Quel que soit le sous ensemble \Large \rm X de \Large \rm E, on a : l'image de \Large \rm X par f est l'intersection de \Large \rm X et \Large \rm A, et l'intersection de \Large \rm X et \Large \rm B.

Ma traduction vous paraît-elle correcte ?

Les questions :

Citation :
1. Montrez que : f est injective \Large \rm \Leftrightarrow A\cup B=E


-> En fait 2 exercices et 4 sous exercices : montrer la double implication, et la double inclusion dans le sens gauche\todroite.


Citation :
2. Montrez que : f est surjective \Large \rm \Leftrightarrow A\cap B=\empty


Je voudrais des pistes, des idées

Merci à vous

Posté par
gui_toure : Applications de sous ensembles 19-11-07 à 22:06

Y aurait-il un nouveau Champollion ?

Posté par
stokastikre : Applications de sous ensembles 19-11-07 à 22:12

Citation :
Je propose la traduction : f est l'application qui, à un sous ensemble X de E associe le couple formé par l'intersection de... et l'intersection de ...

Posté par
stokastikre : Applications de sous ensembles 19-11-07 à 22:13

ou à tout sous-ensemble X... (au singulier)

Posté par
gui_toure : Applications de sous ensembles 19-11-07 à 22:16

Bonsoir stokastik

Ok donc à tout sous ensemble X, on associe un couple de sous ensembles. C'est ça ?

Posté par
gui_toure : Applications de sous ensembles 21-11-07 à 20:12

Voici le début de ma rédaction :

Citation :
\fbox{\Large%20\rm%20f\;:\;\scr{P}_{(E)}\,\to\,\scr{P}_{(A)}x\scr{P}_{(B)}\\\forall%20X\in\scr{P}_{(E)},%20f(X)=(A\cap%20X,B\cap%20X)

Montrez que : f est injective \Large%20\rm%20\Leftrightarrow%20A\cup%20B=E

1ère étape : (sens gauche -> droite)

Hypothèse : f injective.

Montrons que 3$\rm A\cup%20B=E

3$\fbox{\rm 1 Montrons que 3$\rm A\cup B\subset E.

(Là, je ne suis plus sûr du tout)

\large \rm A\subset E et B\subset E donc A\cup B \subset E

3$\fbox{\rm 2 Montrons que 3$\rm E\subset A\cup B.

Soit \blue \large \rm Y un sous ensemble de \blue \large \rm E tel que \blue \large \rm f(Y)\subset A\cup B

Sois \blue \large \rm X un sous ensemble de \blue \large \rm E tel que \blue \large \rm f(X)=f(Y). Montrons que \blue \large \rm X\subset A\cup B

On suppose que \blue \large \rm f(X)\not\subset A\cup B


Mes propositions en bleu sont trèssurement fausses, mais c'est pour donner l'idée.

Comment utiliser l'égalité de deux images de f, et en déduire l'égalité des ensembles de départ ?

Merci

Posté par
fusionfroidere : Applications de sous ensembles 21-11-07 à 20:13

Salut guillaume.

Je te rédige une solution possible, laisse-moi 5 minutes ^^

Posté par
gui_toure : Applications de sous ensembles 21-11-07 à 20:18

Salut FF

Quel ange

Posté par
fusionfroidere : Applications de sous ensembles 21-11-07 à 20:21

** Supposons que 4$E=A\cup B

Soit 4$X,X^' \in P(E) tels que 4$f(X)=f(X^')

4$(X\cap A,X\cap B)=(X^'\cap A,X^'\cap B) donne le système :

4$X\cap A=X^'\cap A
4$X\cap B=X^'\cap B

Or, 4$X=X\cap E=X\cap(A\cup B)=(X\cap A)\cup(X\cap B)=(X^'\cap A)\cup(X^'\cap B)=X^'\cap(A\cup B)=X^'\cap E=X^'

Donc 4$X=X^' donc f est uinjective.

** Supposons f injective

4$f(E)=(E\cap A,E\cap B)=(A,B) et 4$f(A\cup B)=((A\cup B)\cap A, (A\cup B)\cap B)=(A,B)

Donc 4$f(E)=f(A\cap B) et comme f est injective, on a le résultat ^^

Voilà

Je vais manger

Posté par
gui_toure : Applications de sous ensembles 21-11-07 à 20:30

Waouuh !

En fait pour montrer : f injective \large \rm \Rightarrow A\cup B=E, t'as utilisé le paramétrage : le quel que soit X, et tu as pris X=E.
Me trompé-je ?

Bien vu, bravo

Posté par
fusionfroidere : Applications de sous ensembles 21-11-07 à 20:33

Oui toutafé puisque tu veux montrer au final que E=AUB

Posté par
gui_toure : Applications de sous ensembles 21-11-07 à 20:34

Pour montrer la deuxième question, je fais à peu pès pareil, sauf que je prends l'ensemble vide au lieu de E ?

Posté par
fusionfroidere : Applications de sous ensembles 21-11-07 à 20:38

Bah ça ne sera pas tout à fait pareil car tu vas devoir revenir à la définition de la surjectivité...

Je vais essayé d'y réflechir

Pour l'heure, je dois y aller, désolé ^^

Bon courga, si je trouve je poste

Posté par
fusionfroidere : Applications de sous ensembles 21-11-07 à 20:38

courage ^^

Posté par
gui_toure : Applications de sous ensembles 21-11-07 à 20:39

Ah ba voui !

Merci beaucoup en tout cas

A plus

Posté par
fusionfroidere : Applications de sous ensembles 21-11-07 à 20:39

Ah oui je sais pas si tu connais cette équivalence :

f : E->F surjective équivaut à f(E)=F

Ca peut toujours servir

Posté par
gui_toure : Applications de sous ensembles 21-11-07 à 20:45

Ah non, je ne connais que \large \rm \fbox{f:E\to F\\f est surjective si\\\forall y\in F, \exists x\in E tel que y=f(x)


Encore merci


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