Niveau Maths sup

Applications et dénombrements

Posté par
maths-rix 26-11-07 à 22:12

salut,

est ce que vous pouvez m'aider pour cet exo s'il vous plait (je m'entraine pour la colle de demain)

-Soit $n,k$ deux entiers tel que $0$ $k$ $n$ . on note $4$I^{k}_n$ le nombre de permutations de n éléments laissant k éléments invariant.

1) calculer $4$I^{n}_n$ , $4$I^{n-1}_n$ , $4$I^{n-2}_n$

2) calculer $4$\sum_{k=0}^n I^{k}_n$

merci ! (en fait je ne vois pas du tout ce qu'il faut faire !)

Posté par re : Applications et dénombrements 26-11-07 à 22:24

1) je suppose que c'est :

$4$I^{k}_n = \frac {n!}{(n-n)!n!} = 1$

$4$I^{n-1}_n = \frac {(n-1)!}{(n-1-n)!n!} = ???$

$4$I^{n-2}_n = \frac {(n-2)!}{(n-2-n)!n!} = ???$

Posté par re : Applications et dénombrements 26-11-07 à 23:19

bonsoir,
I_nⁿ=1=I_n^n-1 car si n-1 éléments sont invariants le nième est aussi invariant
s'il y a n-2 éléments invariants alors deux éléments s'échangent il y a $n\choose 2$ choix pour ces deux éléments et à chacun de ces choix correspond une permutation et une suele ayant n-2 éléments invariants donc
I_n^n-2=n(n-1)/2

Posté par re : Applications et dénombrements 26-11-07 à 23:26

une permutation de n éléments laisse 0ou 1 ou 2 ou 3...................ou n éléments invariants donc n!le nombre total de permutations de n éléments= $\bigsum_{k=0}^\n$ I_n^k

Posté par re : Applications et dénombrements 26-11-07 à 23:52

pour le 1er cas on utilise la formule $4$I^{n}_n = \frac {n!}{(n-n)!n!} = 1$ et on trouve le résultat mais la 2) avec la même formule on bloque car on tombe sur des valeurs comme (-1)! (ce n'est pas définie ça ?!)

ou alors vous avez utilisé d'autre formules ?!

Posté par re : Applications et dénombrements 27-11-07 à 11:38

bonjour,
je n'ai utilisé aucune formule j'ai réfléchi !
dans le cas général il y a bien une formule donnant le nombre de permutations de n éléments ayant k points invariants
I_n^k=(n!/k!) $\bigsum_{i=0}^ {n-k}$ (-1)ⁱ/i! si ma mémoire est bonne
elle se démontre à l'aide de la formule du crible

bon courage pour la colle

Posté par re : Applications et dénombrements 27-11-07 à 21:11

ah ok pour la colle j'ai eu 11 ce n'est pas brillant mais bon l'exo était compliqué

merci pour l'aide !

Posté par re : Applications et dénombrements 27-11-07 à 21:25

de rien,bonne soirée

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