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Applications et fonctions.

Posté par sarwell (invité) 24-09-07 à 22:29

Voilà, je coince un peu sur les deux dernières questions d'un exo...

f est une application d'un ensemble E vers un ensemble F, A et B sont des parties de E.

4.) Justifier que: A f-1 < f<A> > ; donner un exemple où il y a inclusion stricte.
    Quelle consition imposer à f pour qu'il y ait égalité (bijective non?)

5.) On suppose que f est injective et que {f<Ai> , iI} est une partition de E
Prouver que { f<Ai> , iI} est une partition de f<E<

Posté par
romure : Applications et fonctions. 25-09-07 à 00:58

Bonsoir,

pour la 4, tu prends un élément x quelconque de A et tu montres que x est dans f^{-1}(f(A)).

Comme exemple de l'inclusion stricte tu peux regarder la fonction de \mathbb{R} dans \mathbb{R} x\rightarrow x^2, et tu prends A=[0,1].

Citation :
Quelle consition imposer à f pour qu'il y ait égalité (bijective non?)


Oui, tu as

4$[\forall A\subset X,\ A = f^{-1}(f(A))] \Leftarrow [ f \mbox{ est bijective }],


mais mieux encore on a:

4$[\forall A\subset X,\ A = f^{-1}(f(A))] \Leftrightarrow [ f \mbox{ est injective }]


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