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Applications et fonctions

Posté par abou24 (invité) 15-10-07 à 11:11

Bonjour, j'arrive pas à finir mon exo.

On considère la fonction f : x -> (2x)/(1+x²)

1) f est-elle injective ? surjective ? (ça j'ai réussi)

2) Montrer que f(R) =  [-1,1]
                      [-1,1] -> [-1,1]

3) Montrer que g : x -> (2x) / (1+x²) est une bijection.

4) Retrouver ce résultat en étudiants les variations de f.

Merci pour votre aide

ab.

Posté par abou24 (invité)re : Applications et fonctions 15-10-07 à 11:12

Pour la 2), je pense à une double inclusion mais je vois pas comment m'y prendre.

Posté par
romure : Applications et fonctions 15-10-07 à 11:22

Bonjour, pour la 2) étudie les variations de f.

Posté par abou24 (invité)re : Applications et fonctions 15-10-07 à 11:39

donc ca je l'ai déjà fait.
j'ai trouvé décroissante sur ]-inf,-1] et sur [1,+inf[ et croissante sur [-1,1].

Posté par
romure : Applications et fonctions 15-10-07 à 11:51

Ok, pour compléter ton tableau de variation de f, il te reste à déterminer les valeurs f(-1), f(1), les limites de f en +\infty et en -\infty.

Montrer aussi que f est continue sur \mathbb{R} et dérivable sur \mathbb{R}\setminus \{0\}.

Tu vois que pour tout x, on a f(x)\in [-1,1], donc f(\mathbb{R})\subset [-1,1].

Reste à montrer que [-1,1]\subset f([-1,1]) avec le théorème des valeurs intermédiaires. Et comme  f([-1,1])\subset f(\mathbb{R}), tu conclus.

Posté par
romure : Applications et fonctions 15-10-07 à 11:57

d'ailleurs, on a même f dérivable en 0.

Posté par abou24 (invité)re : Applications et fonctions 15-10-07 à 12:13

f(-1) = -1
f(1) = 1

lim de f en +inf = lim 2/x en + inf = -inf
lim de f en -inf = +inf

ok

merci

Posté par
romure : Applications et fonctions 15-10-07 à 12:21

Citation :
lim de f en +inf = lim 2/x en + inf = -inf
lim de f en -inf = +inf


Non sinon on aurait certainement pas f(\mathbb{R})\subset [-1,1].

Tu dois trouver 4$\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) = 0 et 4$\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x) = 0.

Posté par abou24 (invité)re : Applications et fonctions 15-10-07 à 13:04

ah oui d'accord je comprends. merci


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