Bonjour.

Je trouve le même résultat.

¤ Si m non nul, f est un automorphisme.
¤ Si m = 0, Ker(f) = {(x , x , -x), x € R}.
Tu vois que : pour tout X dans Ker(f), X = x.( 1 , 1 , -1).
Cela signifie que u = (1 , 1 , -1) engendre Ker(f). u étant non nul, la famille (u) est libre.
Donc (u) est une base de Ker(f).

A plus RR.

Merci beaucoup!

J'ai encore une petite question, si on demande trouver Imf,, c'est donner les équations de Imf?

Oui, on peut donner l'équation, ou une base. Tu auras les cas suivants.

1°) m 0.
f est un automorphisme, donc, Im(f) =

2°) m = 0.
Comme dim(Ker(f)) = 1, alors, dim(Im(f)) = 2. Ceci prouve que Im(f) sera un plan vectoriel de donc, aura une équation du type : uX + vY + wZ = 0.
Pour trouver cette équation, résous l'équation f(u) = v, u(x,y,z) et v(X,Y,Z). En éliminant x,y,z, tu trouveras l'équation.

A plus RR.

Dans le cas où m=0 j'ai trouvé que Z - Y + X = 0 .

Il y a 2 inconnues arbitraires, j'ai pris Z=a et Y=e

(X,Y,Z) appartient à Imf alors il existe a et e tels que (X,Y,Z)=(e-a,e,a)= e(1,1,0) + a(-1,0,1) = eu1 + au2

La famille (u1,u2) est une base de Imf.

C'est bien ça?

Puis après il faut encore montrer que E = Imf  + (dans un rond) Kerf
Il faut donc que je montre Imf + Kerf =E et que ImfKerf = (OE)

Mais à vrai dire là j'ai même pas eu d'exemples en cours alors je vois vraiment pas comment faire...

Je trouve la même chose : X - Y + Z = 0.

Un dernier détail : vérifie que (1,1,0) et (-1,0,1) forment une famille libre. Tu résous :
a.(1,1,0) + b.(-1,0,1) = (0,0,0). Cela doit te donner a = b = 0.

Pour la suite, je te propose deux méthodes.

1°) X € Ker(f) <=> X = (x,x,-x). Reportons dans l'équation de Im(f) : x - x - x = 0. Donc : x = 0 et par suite,
X = O. Cela signifie bien que Fer(f)Im(f) = {O}.
Or, tu sais que dim(E + F) = dim(E) + dim(F) - dim(EF). Ici, cela te donne bien :
dim(Ker(f) + Im(f)) = 3. D'où :
Ker(f))Im(f) =

2°) On étudie le rang de la famille ((1,1,0),(-1,0,1),(1,1,-1)). On trouve 3. Donc, c'est une base de
Ceci prouve que pour tout X dans ,
X = a.(1,1,0) + b.(-1,0,1) + c.(1,1,-1) = X_Im(f) + X_Ker(f), d'une manière unique.

Donc : Ker(f))Im(f) =

plus RR.

Merci beaucoup beaucoup beaucoup pour tout, j'ai tout capish :p!

Merci à toi. Bon week end.

A plus RR.

Re... En fait j'ai un tt pitit dernier problème

Il s'agit de déterminer les vecteurs u et v tels que w= u + v avec u appartient à Imf et v appartient à Kerf et w=(x,y,z)

Comme u appartient à Imf  alors u = (a,b,c) tel que a-b+c=0
Comme v appartient à Kerf alors v = (a',b',c') tel que a'+b'-c'=0

Euh ça c'est parceque lorsque f n'est pas un automorphisme, alors Ker(f) = {(x , x , -x), x € R} et l'équation de Imf est X - Y + Z = 0.

Ensuite il faut résoudre (x,y,z)=(a,b,c)+(a',b',c')?

Mais alors je trouve

a+a'=x
b+b'=y
c+c'=z

Enfin je sais pas trop comment avancer...

Mici beaucoup d'avance...

Bonsoir.

J'utilise les bases :
(x,y,z) = a(1,1,0) + b(-1,0,1) + c(1,1,-1). (I)
On obtient le système :
a - b + c = x
a + c = y
b - c = z

Facile à résoudre :
a = x + z
b = -x + y
c = -x + y - z

On reporte dans (I), puis l'on rassemble les deux premiers vecteurs pour former la composante dans Im(f).

(x,y,z) = (2x-y+z , x+z , -x+y) + (-x+y-z).(1 , 1 , -1)

A plus RR.

Bijour bijour!

je suis d'accord jusque là mais alors u=(2x-y+z , x+z , -x+y) et v=(-x+y-z , -x+y-z , x-y+z) ?

Merci encore beaucoup ^^

Bonjour.

Voilà, u et v sont donc les composantes de X sur Im(f) et Ker(f).
J'ai d'ailleurs contrôlé que les coordonnées de u vérifiaient bien l'équation de Im(f) : x - y + z = 0.

Je viens de trouver une méthode plus rapide.

Soit X = (x,y,z) quelconque dans E.
Par la somme directe, il s'écrit de manière unique x = u + v, u € Im(f) et v € Ker(f). Or, v = (a,a,-a), donc :
u = (x,y,z) - (a,a,-a) = (x-a,y-a,z+a).
Mais u € Im(f) signifie qu'il obéit à l'équation x - y + z = 0. Cela donne :
(x-a) - (y-a) + (z+a) = 0.
On en déduit que a = -x + y - z.
En reportant cette valeur de a dans u et dans v, on retrouve la décomposition.

A plus RR.