Bonsoir,
J'ai un petit problème sur un exercice de théorie, je ne saurais dire si ma réponse est bonne. Je vous donne le sujet:
Soit E et F deux K-espaces vectoriels et fL(E,F). Montrer que : ker f = ker f² Im f ker f = {0}.
Je suppose donc que Ker f = Ker f² et je ontre que Im f Ker f ={0}
Soit x Im f Ker f. Alors y=f(x) et f(x)=0.
En particulier f²(x)=0, donc f(x)=0 puisque Ker f² Ker f .
Ainsi y=f(x)=0.
On m'a vaguement aidé pour cette exercice mais je ne le comprend quand même pas. Serait-il possible de m'aider s'il vous plaît ?
Dans ce que tu racontes on ne voit pas d'où sort y .
En fait : Si x Im f Ker f , alors f(x) = 0 , oui , mais on peut trouver y tel que x = f(y) . Alors 0 = f(x) = f²(y) donc y ker f ( si on suppose ker(f) = ker(f²) ) donc f(y) = 0 càd x = 0 .
Bonsoir,
Voila la réponse à ton problème
-> Supposons que Ker f = Ker f², alors on montre que Im f ∩ Ker f = {0}
Soit x € Im f ∩ Ker f, on a alors f(x) = 0, donc in existe un y tq x = f(x).
Donc f(x) = 0 = f²(y) et y € Ker f, f(y) = 0, x = 0.
-> Supposons maintenant que Ker f ∩ Im f = {0}, montrons que Ker f² C Ker f ( car Ker f C Ker f² est évident )
Si x € Ker f² alors f( f(x) ) = 0
On peut alors poser y = f(x)
On a donc y € Im f ∩ Ker f
Donc f(x) = y = 0 et x € Ker f
Tu as ainsi montré que Ker f² = Ker f Im f = {0}
Tu as oublié une partie de ton raisonnement c'est très important!
Bonne chance pour la suite de tes études!
une petite faute!!
Tu as ainsi montré que Ker f² = Ker f Im f Ker f = {0}
C'est un exo très très classique, il faut savoir le faire les doigts dans le nez!
Big_cg est de Trois-Bassins aussi non?
Merci à vous deux de m'avoir répondu.
BigBoss426, c'est plutôt " il existe un y tel que x=f(y)." non ?
Et je ne comprend pas lorsque tu dis que l'on peut poser y =f(x).
Effectivement Big_cj est de Trois bassins, je suis curieux de savoir qui est BigBoss426 . Et merci pour mes études.
Bonjour,
Lorsqu'on a : ker f = ker f² Im f ker f = {0} , il faut montrer ker f = ker f²Im f ker f = {0} et Im f ker f = {0}ker f = ker f²
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :