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appliquation linéaire, endomorphisme, matrice
Bonjour à tous,
pour commencer je vous pose l'énoncer de mon problème pour vous mettre dans le vif du sujet.
Soit n
N* et T un élément de 
[X] de degré n.
On considère l'application f définie par :
P[X] f(P) = Q + XR
avec Q et R le quotient et le reste de la division euclidienne de P(X²) par T.
On a donc P(X²) = QT +R avec deg(R) < deg(T).
Vous m'avez déjà aidez sur cette exercice, voir ce topic : https://www.ilemaths.net/sujet-definition-d-une-application-436011.html
Mais j'ai d'autres questions qui trouble énormément, en bref je nage completement.
questions :
1. Montrer que n[X] est stable par f .
On note fn l'endomorphisme induit.
2. Dans cette question uniquement, n = 2 et T = X².
a) Donner la matrice A de f2 dans la base canonique de 2[X].
b) Calculer A². En déduire que f2 est bijective et donner son application
réciproque. En déduire la nature de f2.
Alors pour la question 1) je ne vois pas comment l'ensemble des complexes peut être stable par f. Et je ne comprends pas pourquoi il y a la présion n[X].
Et pour la question 2) je ne vois pas comment je peut trouver une matrice à partir de f et pourquoi f2 n=2 d'accord mais c'est le degré non ?
Je suis perdu dans cet exercice...
Merci d'avance pour votre aide.
Bonsoir,
est l'espace vectoriel des polynômes à coefficients dans
et de degré inférieur ou égal à
.
Il faut donc montrer :
.
Pour la seconde question, la base canonique de est
et pour écrire la matrice
de
il faut calculer l'image de
par
ie
,
et
.
La matrice obtenue, tu calcules
et tu devines ensuite ce qu'il faut faire pour étudier la bijectivité.
Pour la première question je n'ai toujours pas compris (je ne vois pas du tout).
Et pour la seconde : f2(1) par exemple il faut que je trouve P(X²)=1, puis pour f2(X) il faut trouver un P(X²)=X, encore pour f2(X²) il faut P(X²)=X² non?
Mais P(X²) = QT + R et T = X²
Donc pour P(X²) = 1, je dois dire que Q=0 et R=1 ?
pour P(X²) = X, je dois dire que Q=0 et R= X ou Q=1/X et R=0 (comment je sais ?).
Et pour P(X²) = X², Q=1 ou R=0 ou Q=0 et R=X².
Merci pour votre aide.
Bonsoir je dois partir donc désolé de la briéveté de mon message :
Pour P=1 P(X^2)=1 =0*X^2+1 donc Q=0 et R=1
Pour P=X P(X^2)=X^2=1*X^2+0 donc Q=1 et R=0
Pour P=X^2 P(X^2)=X^4=X^2*X^2+0 donc Q=X^2 et R=0
F_2(1)=X
F_2(X)=1
F_2(X^2)=X^2
donc tu obtiens une matrice A en écrivant en colonnes les F_2(1), F_2(X), F_2(X^2) dans la base canonique (1,X,X^2)
010
A= 100
001
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