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approximation de exp(-x)

Posté par
aya4545
25-01-22 à 18:49

salut
priere m aider pour terminer cet exercice
a_n=\frac{\sqrt[n]{n!}}{n} ; \quad b_n=\frac{n^n}{n!}
1) montrer que :\forall n \in \N^* \quad n\ln(a_n)+\ln (b_n)=0
2)a) montrer que :\forall n \in \N^* \quad b_{n+1}=b_n(1+\frac{1}{n})^n
b)montrer que \forall n\in \N^* (1+\frac{1}{n})^n\geq 2
c)deduire que pour tout n>5 b_n\geq 2^n
d)montrer que (a_n) est majorée
3)a)determiner \lim \ln(\frac{b_{n+1}}{b_n})
b)montrer que  \forall x \in \R^+ \quad 0\leq x-\ln(x+1)\leq \frac{x^2}{2}
c) en deduire que \forall n \in \N^* \quad 0\leq 1+\ln(b_n)-\ln(b_{n+1})\leq \frac{1}{2n}
d)montrez que \forall x \in [01[ \quad x\leq -\ln(1-x)  
e)deduire que 1+\frac{1}{2}+.....+\frac{1}{n}\leq 1+\ln(n)
f)determiner \lim \frac{1}{n}\ln(b_n)
g) etudiez \lim (a_n)
4) pour tout entier naturel k  \quad  \forall  x \in \R^+ f_k(x)=\sum\limits_{\substack{p=0 }}^{k}{(-1)^p\frac{x^p}{p!}}=1-\frac{x}{1!}+......+(-1)^k\frac{x^k}{k!}
a) exprimer f'_{k+1} en fonction de f_k
b)montrer que \forall  x\in  \R^+  \quad  \forall n \in \N \quad f_{2n+1}(x)\leq e^{-x}\leq f_{2n}(x)
j ai des problemes seulement  dans 4)b)
j ai procedé par recurence  l initialisation ne pose pas de problemes
je suis coincé dans l heridité et merci

Posté par
carpediem
re : approximation de exp(-x) 25-01-22 à 19:26

salut

certes mais peut-être que certains résultats intermédiaires sont nécessaires ... et nous ne les avons pas ...

en particulier 4b/ suit 4a/ ...

et en particulier en particulier toute fonction est une primitive de sa dérivée ...

Posté par
aya4545
re : approximation de exp(-x) 25-01-22 à 19:58

salut
merci carpediem
l enoncé de cet exercice est la traduction integrale  d un exercice en arab d un vieux livre ( date d edition 2000) certes il y a d autres  question apres mais avant il   ne manque aucune  et merci

Posté par
larrech
re : approximation de exp(-x) 25-01-22 à 21:18

Bonsoir,

Pour traiter cette question, il faut avoir défini la fonction exponentielle. Quelle définition as-tu adoptée ici?

Posté par
carpediem
re : approximation de exp(-x) 25-01-22 à 21:33

aya4545 @ 25-01-2022 à 19:58

il y a d autres  question apres mais avant il   ne manque aucune  et merci
ce n'est pas les questions qui manquent qui me gênent (du moins pour l'instant) c'est plus certainement les réponses aux questions qui ne manquent pas ... comme 4a/ ...

ensuite je rejoins larrech ...

Posté par
aya4545
re : approximation de exp(-x) 25-01-22 à 21:35

salut
de la question  \forall  x\in  \R^+  \quad  \forall n \in \N \quad f_{2n+1}(x)\leq e^{-x}\leq f_{2n}(x)
j ai dit peut etre les deux suites f_{2n+1} (x)et f_{2n}(x) sont adjacentes qui convergent vers e-x ils manquent d autres questions dans l exercice et merci

Posté par
lafol Moderateur
re : approximation de exp(-x) 25-01-22 à 21:55

Bonjour
tu vas finir par répondre à Carpediem ? je reformule : QUELLE EST TA RÉPONSE A LA QUESTION 4)a) ?

Posté par
aya4545
re : approximation de exp(-x) 25-01-22 à 22:01

salut
f'_{k+1}=-f_k

Posté par
lake
re : approximation de exp(-x) 25-01-22 à 22:10

Bonsoir à tous,

  En 4)a) il me semble qu'il est clair que  f'_{k+1}=-f_k

En 4)b) si on décide de faire une récurrence, on peut intégrer deux fois l'inégalité (hypothèse de récurrence) :

  f_{2n+1}(t)\leq e^{-t}\leq f_{2n}(t) sur [0,x]

Posté par
aya4545
re : approximation de exp(-x) 25-01-22 à 23:06

merci lake
\int_0^x f_{2n+1}(t)dt=\int_0^x- f'_{2n+2}(t)dt=-[f_{2n+2}(t)]_0^x puis j integre une deuxieme fois pour obtenir le resultat

Posté par
aya4545
re : approximation de exp(-x) 25-01-22 à 23:30

salut
mais je sens qu ilya un petit probleme dans l exercice en effet :
f_{1}(t)\leq e^{-t}\leq f_{0}(t) pour tout t positif donc f_0(0)=0\geq e^{-0}  absurde

Posté par
lake
re : approximation de exp(-x) 25-01-22 à 23:42

Non, non : f_0(x)=1 regarde bien et f_0(0)=1 aussi (avec un petit problème de continuité en 0 qu'on peut oublier).

Si on ne veut pas "l'oublier", on travaille sur \matbb{R}^{+*}

Posté par
lake
re : approximation de exp(-x) 25-01-22 à 23:51

... ou on démontre 4)b) pour n\in\mathbb{N}^*.

  Mais très souvent en analyse dans les sommes, pour plus de cohérence, on considère que 0^0=1
Évidemment, techniquement, je viens d'écrire une "horreur"

Posté par
aya4545
re : approximation de exp(-x) 26-01-22 à 08:46

merci lake et bonne journée

Posté par
carpediem
re : approximation de exp(-x) 26-01-22 à 15:27

c'est bien qu'esque j'disais :

carpediem @ 25-01-2022 à 19:26

et en particulier en particulier toute fonction est une primitive de sa dérivée ...
tou tle problème est de trouver la bonne constante d'intégration ... donc ici f(0) ... ou presque ...



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