Une unité de longueur etant choisie on considère une cercle C de rayon 1 dont on note O le centre. Son périmètre est donc 2 et son demi-périmètre . L'idée d'Archimède est d'encadrer ce cercle par des polygones réguliers à 3*2ⁿ côtés: (voir image intro)
On notera P_n le polygone intérieur à 3*2ⁿ côtés, p_n son demi-périmètre; Q_n le polygone extérieur à 3*2ⁿ côtés et q_n son demi-périmètre.On admet que tout polygone régulier inscrit dans un cercle a un périmètre inférieur à celui du cercle et tout polygone régulier circonscrit à un cercle a un périmètre plus grand que lui. On aura donc pour tout n0, p_n<<q_n. On s'interdira bien sûr d'utiliser la touche de la caculatrice...
1. Conjecture.
Quelles conjectures pouvez-vous faire sur les suites (p_n) et (q_n)?
2. Etude des polygones intérieurs.
Construction des polygones P_n : P₀ est un triangle équilatéral(nommé ABC sur la figure ci-contre(image1)). Pour construire l'hexagone P1(nommé ADBECF sur la figure) à partir du triangle ABC, on a ajouté les sommets F,D et E, seconds points d'intersecion du cercle avec les médiatrices des côtés du triangle ABC. Chaque polygone P_n engendrera de même le polygone P_n+1
a. Calculer c₀ puis p₀ (attention: p_n est le demi-périmétre de P_n et c_n la longueur de sont côté).
b. Justifier géométriquement que la suite (p_n) est croissante. Pourquoi est-elle convergente?
c. Exprimer p_n en fonction de c_n et montrer que la suite (c_n) converge vers 0.
d. Passage de P_n à P_n+1.
Sur la figure image2, les points R et S sont deux sommets consécutifs du polygone P_n, les points R, T et S sont trois sommets consécutifs de P_n+1 et donc (OT) est la médiatrice de [RS]. On note H le milieu de [RS], H' le milieu de [RT] et V le point diamétralement opposé à T sur le cercle C.
Notons an l'apothème de P_n, c'est à dire la distance de O à un côté de P_n. On a donc OH=a_n, OH'=a_n+1, RS=c_n et RT=c_n+1. Montrer que les triangles VHR et OH'T sont semblables. En déduire que an+1=racinede(1+a_n/2,c_n+1/c_n=1/2a_n+1 puis que P_n+1/P_n=1a_n+1
3.Etude des polygones extérieurs (image3)
On construit R' et S' en [OR) et [OS) tels que (R'S') soit tangente en T au cercle C.
a.Justifier que (R'S') est parallèles (RS) et en déduire que R'S'/RS=1/a_n
b. Montrez que [R'S'] est bien le côté d'un polygone régulier Q_n circonscrit au cercle C et dont le demi-périmètre est q_n=P_n/a_n
c. En déduire que q_n+1/q_n=2a_n/1+a_n puis etudier le sens de variation de la suite (q_n). Montrer quelle converge