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Approximation de racine de 2 (Suites adjacentes)

Posté par
SaintPierre 10-10-09 à 16:43

Bonjours, j'ai un exo à faire pour lundi que je n'arrive pas à faire ... Voici la consigne:

Soit $u_0=1$ , $v_0=2$ et, pour tout n appartient à N:

- Si $(\frac{u_n+v_n}{2})^2 \le 2$ ; alors $u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}$ et $v_{n+1}=v_n$

- Sinon, $u_{n+1}=u_n$ et $v_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}$

1°/ Démontrez que pour tout n appartient à N, $v_n-u_n=\frac{1}{2^n}$

2°/Démontrez que les suite (Un) et (Vn) sont adjacentes.

3°/En déduire que ces deux suites convergent vers la même limite l et prouver que l²=2
Puis determinez la valeur de l.

4°/Déterminez la plus petite valeur de n pour laquelle $\frac{1}{2^n} \le 10^{-4}$ , en déduire une approximation de $\sqrt{2}$ à $10^{-4}$ près.

Je n'arrive pas à faire la 1°/

Merci de m'aider

Posté par re : Approximation de racine de 2 (Suites adjacentes) 10-10-09 à 17:02

Bonjour,

La première étape consiste à calculer $v_n-u_n$ en fonction de $u_{n-1}{\rm \ et }v_{n-1}$ . Il y a deux cas possiles, mais le résultat est le même!
De là tu formules le résultat en fonction de $u_0{\rm \ et }v_0$

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