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Approximation ln(2)

Posté par
Volgare 22-02-20 à 11:54

Bonjour, petite difficulté à faire une déduction, voici l'énoncé

On considère les fonctions f et g définies sur ]0 ; + [ par :
f(x) = 1 - x + ln(x)
g(x) = \frac{1}{x} - 1 + ln(x)

1. étudier le sens de variation de f et g

ici j'ai trouvé que f(x) était croissante sur ] 0 ; 1 [ , s'annule en 1 et décroissante sur ] 1 ; + [
Pour g(x) je contraire, décroissante sur ] 0 ; 1 ], s'annule en 1 et croissante sur ] 1 ; + [

2. En déduire que pour tout x > 0

1-\frac{1}{x} \leq ln(x) \leq x-1

je ne vois pas par où partir.

Posté par
Yzzre : Approximation ln(2) 22-02-20 à 11:56

Salut,

Citation :

f(x) était croissante sur ] 0 ; 1 [ , s'annule en 1 et décroissante sur ] 1 ; +oo [
Donc sur  ] 1 ; +oo [, f admet un maximum égal à 1 , donc f(x) 1.

Posté par
Yzzre : Approximation ln(2) 22-02-20 à 11:56

Oups !

Yzz @ 22-02-2020 à 11:56

Salut,
Citation :

f(x) était croissante sur ] 0 ; 1 [ , s'annule en 1 et décroissante sur ] 1 ; +oo [
Donc sur  ] 1 ; +oo [, f admet un maximum égal à 1 , donc f(x) 0.

Posté par
Yzzre : Approximation ln(2) 22-02-20 à 11:57

Bon, je crois qu'il vaut mieux que j'arrête...  

Yzz @ 22-02-2020 à 11:56

Salut,
Citation :

f(x) était croissante sur ] 0 ; 1 [ , s'annule en 1 et décroissante sur ] 1 ; +oo [
Donc sur  ] 1 ; +oo [, f admet un maximum égal à 0 , donc f(x) 1.

Posté par
Yzzre : Approximation ln(2) 22-02-20 à 11:58

Ca s'arrange pas  

sur  ] 1 ; +oo [, f admet un maximum égal à 0 , donc f(x) 0

Posté par
sanantonio312re : Approximation ln(2) 22-02-20 à 11:58

Bonjour,
Tu peux partir de f(x)0g(x)

Posté par
sanantonio312re : Approximation ln(2) 22-02-20 à 11:59

Oups, désolé Yzz
Bonjour quand même

Posté par
Yzzre : Approximation ln(2) 22-02-20 à 12:00

Salut sanantonio312  
Tu peux prendre la suite si tu veux !

Posté par
sanantonio312re : Approximation ln(2) 22-02-20 à 12:02

Attendons ce qu'en dit Volgare...

Posté par
Volgarere : Approximation ln(2) 22-02-20 à 12:48

Effectivement j'ai fini par trouver,

f(x) 0 g(x)

1 -x + ln(x) \leq 0 \leq \frac{1}{x} - 1 +ln(x)

1 -x \leq - ln(x) \leq \frac{1}{x} - 1

1 - \frac{1}{x} \leq ln(x) \leq \ x - 1

finalement ça c'était plutôt simple,

la 3. nous dit : En appliquant ce résultat à x = \frac{k+1}{k} pour k > 0, montrer que :

\frac{1}{k + 1} \leq ln(k+1) - ln(k) \leq \frac{1}{k}

là pas de problème, juste du calcul.

Par contre, 4. a. : Ajouter les inégalités obtenus à la question 3 pour les valeurs entières de k de 1 à 2n - 1

Là c'est même pas que je n'y arrive pas, c'est juste que je ne comprends pas la question.

4b. En déduire que pour n > 0,

0 un - ln(2) \frac{1}{2n}

puis la limite de la suite (un)

Je met l'algorithme en photo, c'est lui qui représente un

Posté par
Volgarere : Approximation ln(2) 22-02-20 à 12:49

Voilà, il est en haut

** image supprimée **

Posté par
sanantonio312re : Approximation ln(2) 22-02-20 à 15:08

Citation :
Par contre, 4. a. : Ajouter les inégalités obtenus à la question 3 pour les valeurs entières de k de 1 à 2n - 1
Là c'est même pas que je n'y arrive pas, c'est juste que je ne comprends pas la question.
Tu dois écrire les 2n-1 inégalités les unes au dessus des autres puis ajouter les 3 fois (2n-1) termes ce qui te donnera une nouvelle inégalité.
Autrement dit, avec 3 inégalités, si
a<b<c
d<e<f
g<i<j
alors, en additionnant, j'obtiens:
a+d+g<b+e+i<c+f+j

Posté par
Volgarere : Approximation ln(2) 23-02-20 à 18:06

Merci beaucoup pour votre réponse, mais je ne comprends toujours pas. Je dois remplacer k par 2n - 1 ?

Ça veut dire quoi : " Tu dois écrire les [b]2n-1 inégalités[b] " ?

Je dois écrire les ce que j'ai obtenu à la question 3 mais avec 2n-1 en plus à chaque termes ?

Je ne comprends pas trop

Posté par
sanantonio312re : Approximation ln(2) 23-02-20 à 18:19

Il y a une inégalité pour k=1
Il y a une inégalité pour k=2
Il y a une inégalité pour k=3
.....
Il y a une inégalité pour k=2n-3
Il y a une inégalité pour k=2n-2
Il y a une inégalité pour k=2n-1

Tu écris toutes ces inégalités les unes à la suite des autres (en faisant comme moi des ... au milieu)
Et tu fais l'addition comme je l'ai faite avec 3 inégalités hier.
Il y a des simplifications.

Posté par
Volgarere : Approximation ln(2) 23-02-20 à 19:28

D'accord je comprend mieux alors

\frac{1}{2}\leq ln(2) \leq 1              Pour k = 1

\frac{1}{3}\leq ln(3) - ln(2) \leq \frac{1}{2}                  Pour k = 2

\frac{1}{4}\leq ln(4) - ln(3) \leq \frac{1}{3}                  Pour k = 3

...

\frac{1}{2n-2}\leq ln(2n-2) - ln(2n-3) \leq \frac{1}{2n-3}                pour k = 2n - 3

\frac{1}{2n-1}\leq ln(2n-1) - ln(2n-2) \leq \frac{1}{2n-2}                pour k = 2n - 2

\frac{1}{2n}\leq ln(2n) - ln(2n-1) \leq \frac{1}{2n-1}                          pour k = 2n -1



donc la je dois ajouter comme cela, en remplaçant les "etc" par ce que j'ai trouvé plus haut.

\frac{1}{2n-2} + \frac{1}{2n-1} + \frac{1}{2n} \leq etc \leq etc

Posté par
sanantonio312re : Approximation ln(2) 23-02-20 à 20:04

Citation :
donc la je dois ajouter comme cela, en remplaçant les "etc" par ce que j'ai trouvé plus haut
Je comprends mal ce que tu veux dire...
En additionnant, on trouve:
1/2+1/3+...+1/(2n)ln(2n)1+1/2+...+1/(2n-1)

Posté par
Volgarere : Approximation ln(2) 23-02-20 à 20:52

ah d'accord d'accord
et oui, au centre il reste que le ln(2) car le reste s'annule, je comprends mieux, merci beaucoup.

Mais ce n'est pas fini, je dois maintenant prouver que

0\leq u_{n} - ln(2) \leq \frac{1}{2n}

et je dispose de cela 1/2+1/3+...+1/(2n)ln(2n)1+1/2+...+1/(2n-1)

Je sais que Un = \frac{1}{n+1}+ \frac{1}{n+2} +...+\frac{1}{2n}

Posté par
Volgarere : Approximation ln(2) 23-02-20 à 20:59

déjà je peux faire ça

1/2+1/3+...+1/(2n)ln(2n)1+1/2+...+1/(2n-1)

1/2-1/3-...-1/(2n) -ln(2n) -1-1/2-...-1/(2n-1)

Posté par
sanantonio312re : Approximation ln(2) 23-02-20 à 21:06

Il manque la définition de un (les scans de textes sont interdits)

Posté par
Volgarere : Approximation ln(2) 23-02-20 à 21:11

Pardon, je vais l'écrire alors :

A. Étude d'un algorithme

On considère l'algorithme suivant :

Entrée :                   Saisir n
Initialisation :      Affecter 0 à u
Traitement :         Pour k de 1 à n Faire

                                                 Affecter u + \frac{1}{n+k} à u
                                    
                                     Fin Pour
Sortie :                     Afficher u

Posté par
sanantonio312re : Approximation ln(2) 24-02-20 à 12:18

Dans l'inégalité de 20h04 hier, c'est ln(2n) qui est encadré. Pas ln(2).
Aurions-nous fait une erreur de calcul?

Posté par
lakere : Approximation ln(2) 24-02-20 à 13:37

Bonjour à tous,

Je pense qu'il y a une erreur d'énoncé ici:

  

Citation :
Par contre, 4. a. : Ajouter les inégalités obtenus à la question 3 pour les valeurs entières de k de 1 à 2n - 1


  Non, on somme de k={\red n} à 2n-1

Et là les choses se passent beaucoup mieux pour la suite (u_n)

Posté par
lakere : Approximation ln(2) 24-02-20 à 13:44

Et il semblerait aussi que l'encadrement à prouver est plutôt:

-\dfrac{1}{2n}\leq u_n-\ln\,2\leq 0

Posté par
sanantonio312re : Approximation ln(2) 24-02-20 à 16:04

Bonjour et merci lake
Voyons ce qu'en dira Volgare...

Posté par
Volgarere : Approximation ln(2) 25-02-20 à 09:49

Selon l'énoncé,  cest bien 0 un - ln(2) \frac{1}{2n}

Mais effectivement j'ai l'impression d'être dans une impasse.

Essayons donc avec -\frac{1}{2n} \leq u_{n}-ln(2) \leq 0

et de k de n à 2n - 1

Merci lake
Donc pour la 4.a

je trouve \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}\leq ln(2n) \leq \frac{1}{n}+ \frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n-1}

je retrouve la suite un

donc \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}\leq ln(2n) \leq \frac{1}{n}+ \frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n-1}

   U_{n}\leq ln(2n) \leq \frac{1}{n}+ \frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n-1}

Bon par contre la je ne vois pas ou je peux aller

Posté par
lakere : Approximation ln(2) 25-02-20 à 10:13

Bonjour,

Citation :
je trouve \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}\leq ln(2n) \leq \frac{1}{n}+ \frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n-1}


Non:

  \dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+...+\dfrac{1}{2n}\leq ln(2n){\red -\ln\,2} \leq \dfrac{1}{n}+ \dfrac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n-1}

C'est à dire:

    u_n\leq \ln\,2\leq u_n+\underbrace{\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n}}_{\dfrac{1}{2n}}

  

Posté par
lakere : Approximation ln(2) 25-02-20 à 10:14

Zut:

  \dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+...+\dfrac{1}{2n}\leq ln(2n){\red -\ln\,n} \leq \dfrac{1}{n}+ \dfrac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n-1}

Posté par
Volgarere : Approximation ln(2) 25-02-20 à 10:46

Ok merci, donc

u_{n} \leq ln(2n) - ln(n) \leq u_{n} + \frac{1}{2n}

   u_{n} \leq ln(2) \leq u_{n} + \frac{1}{2n}

   0 \leq ln(2) - u_{n} \leq \frac{1}{2n}

   0 \geq u_{n} - ln(2) \geq -\frac{1}{2n}

Je pense que l'erreur de l'énoncé est une erreur de signe au niveau de un - ln(2) au lieu de ln(2) - un

Posté par
Volgarere : Approximation ln(2) 25-02-20 à 10:57

Donc Un tend vers ln(2)

la 5. Interpréter l'encadrement obtenu en question 4.b. en termes de valeur approchée de ln(2)

Si on prend notre encadrement ça donne

0 \geq u_{n} - 0.693 \geq -\frac{1}{0.693}

  0 \geq u_{n} \geq -\frac{1}{0.693} + 0.693

  0 \geq u_{n} \geq -0.750

*bon je ne suis pas sûr

Posté par
lakere : Approximation ln(2) 25-02-20 à 11:03

On a donc:

-\dfrac{1}{2n}\leq u_n-\ln\,2\leq 0

Ce qui signifie que u_n est une approximation par défaut de \ln\,2 avec une précision meilleure que \dfrac{1}{2n}

Un exemple avec n=500:

  \dfrac{1}{2n}=10^{-3}

  u_{500} est une approximation par défaut de \ln\,2 avec une précision meilleure que 10^{-3}

Posté par
Volgarere : Approximation ln(2) 25-02-20 à 11:08

D'accord, merci beaucoup, je crois qu'on en a fini avec celui là.

Posté par
lakere : Approximation ln(2) 25-02-20 à 11:14

De rien pour moi Volgare


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