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Approximation polynômiale de √1+x
(Je n'étais pas sur de la catégorie de l'exercice)
Bonjour, j'aurai besoin (encore une fois) d'aide pour un (deuxième) exercice auquel je ne comprend pas quand chose et dont je n'ai pas l'air de trouver de leçon dessus.
1) Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I contenant 0 et telles que f' ≥ g' sur I.
On pose h(x)=f(x)-g(x)-[f(0)-g(0)].
a. Calculer h(0) / Ce qui me donne 0 car le f(x) et le f(0) s'annulent ainsi que le g(x) et le g(0)
b. En étudiant le sens de variation de h, démontrer que :
- Si x ≥ 0, alors f(x)-f(0) ≥ g(x)-g(0) ;
- Si x ≤ 0, alors f(x)-f(0) ≤ g(x)-g(0).
2) On considère désormais que f est la fonction définie sur ]-1 ; +∞[ par : f(x)=√1+x
On note f''' la dérivée de f''.
Calculer f', f'' et f'''.
3) Démontrer que, si x ∈ [0 ; 3] : \frac{3}{256} ≤ f'''(x) ≤ \frac{3}{8}
4) En déduire successivement que, si x ∈ [0 ; 3] :
a. -\frac{1}{4} + \frac{3}{256}x ≤ f''(x) ≤ -\frac{1}{4} + \frac{3}{8}x ;
b. 1 + \frac{x}{2} - \frac{x2}{8} + \frac{x3}{512} ≤ √1+x ≤ 1 + \frac{x}{2} - \frac{x2}{8} + \frac{x3}{16}
5) Donner un encadrement de l'erreur que l'on commet lorsqu'on remplace
√1+x par 1 + \frac{x}{2} - \frac{x2}{8}, puis par 1 + \frac{x}{2} si x ∈ [0 ; 3].
6. Calculer des valeurs approchées de √1,01 et (Je n'étais pas sur de la catégorie de l'exercice)
Bonjour, j'aurai besoin (encore une fois) d'aide pour un (deuxième) exercice auquel je ne comprend pas quand chose et dont je n'ai pas l'air de trouver de leçon dessus.
1) Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I contenant 0 et telles que f' ≥ g' sur I.
On pose h(x)=f(x)-g(x)-[f(0)-g(0)].
a. Calculer h(0) / Ce qui me donne 0 car le f(x) et le f(0) s'annulent ainsi que le g(x) et le g(0)
b. En étudiant le sens de variation de h, démontrer que :
- Si x ≥ 0, alors f(x)-f(0) ≥ g(x)-g(0) ;
- Si x ≤ 0, alors f(x)-f(0) ≤ g(x)-g(0).
2) On considère désormais que f est la fonction définie sur ]-1 ; +∞[ par : f(x)=√1+x
On note f''' la dérivée de f''.
Calculer f', f'' et f'''.
3) Démontrer que, si x ∈ [0 ; 3] : \frac{3}{256} ≤ f'''(x) ≤ \frac{3}{8}
4) En déduire successivement que, si x ∈ [0 ; 3] :
a. -\frac{1}{4} + \frac{3}{256}x ≤ f''(x) ≤ -\frac{1}{4} + \frac{3}{8}x ;
b. 1 + \frac{x}{2} - \frac{x2}{8} + \frac{x3}{512} ≤ √1+x ≤ 1 + \frac{x}{2} - \frac{x2}{8} + \frac{x3}{16}
5) Donner un encadrement de l'erreur que l'on commet lorsqu'on remplace
√1+x par 1 + \frac{x}{2} - \frac{x2}{8}, puis par 1 + \frac{x}{2} si x ∈ [0 ; 3].
6. Calculer des valeurs approchées de (Je n'étais pas sur de la catégorie de l'exercice)
Bonjour, j'aurai besoin (encore une fois) d'aide pour un (deuxième) exercice auquel je ne comprend pas quand chose et dont je n'ai pas l'air de trouver de leçon dessus.
1) Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I contenant 0 et telles que f' ≥ g' sur I.
On pose h(x)=f(x)-g(x)-[f(0)-g(0)].
a. Calculer h(0) / Ce qui me donne 0 car le f(x) et le f(0) s'annulent ainsi que le g(x) et le g(0)
b. En étudiant le sens de variation de h, démontrer que :
- Si x ≥ 0, alors f(x)-f(0) ≥ g(x)-g(0) ;
- Si x ≤ 0, alors f(x)-f(0) ≤ g(x)-g(0).
2) On considère désormais que f est la fonction définie sur ]-1 ; +∞[ par : f(x)=√1+x
On note f''' la dérivée de f''.
Calculer f', f'' et f'''.
3) Démontrer que, si x ∈ [0 ; 3] : \frac{3}{256} ≤ f'''(x) ≤ \frac{3}{8}
4) En déduire successivement que, si x ∈ [0 ; 3] :
a. -\frac{1}{4} + \frac{3}{256}x ≤ f''(x) ≤ -\frac{1}{4} + \frac{3}{8}x ;
b. 1 + \frac{x}{2} - \frac{x2}{8} + \frac{x3}{512} ≤ √1+x ≤ 1 + \frac{x}{2} - \frac{x2}{8} + \frac{x3}{16}
5) Donner un encadrement de l'erreur que l'on commet lorsqu'on remplace
√1+x par 1 + \frac{x}{2} - \frac{x2}{8}, puis par 1 + \frac{x}{2} si x ∈ [0 ; 3].
6) Calculer des valeurs approchées de √1,01 et √1,002 avec des erreurs inférieures à 10-5.
Je sais que c'est un grand exercice (beaucoup plus compliqué que celui que le prof nous donne) mais pour l'instant je ne cherche qu'à répondre à la question 1b. Si quelqu'un pouvait m'aider pour que puisse me mettre à faire la 2e partie de l'exercice dont j'ai déjà quelques réponses.
1 + x = 1 + x car (Désolé je ne sais pas encore bien me servir du site.)
Pour la 1b le problème qui me gène, c'est qu'on a aucune information (quasiment) aucun chiffre ou donnée à part les noms des fonctions
Donc je dois faire la dérivée et le discriminant de f(x)-f(0) ≥ g(x)-g(0) et f(x)-f(0) ≤ g(x)-g(0) ?
Mais pour dériver h je dois dériver f(x) et g(x) et je ne peux pas sachant qu'il n'y a pas de valeurs
bon, écoute, si tu préfères causer tout le temps plutôt que de faire quelque chose de concret, je laisse tomber 
On sait que f' ≥ g', donc f'-g' ≥ 0
Si h(x)=f(x)-g(x) alors h'(x)=f'(x)-g'(x)
Donc h'(x) ≥ 0 et par conséquent croissante
Donc h'(x) ≥ 0 et par conséquent h est croissante
mettons des sujets précis aux verbes
oui
et donc, avec le fait que h(0)=0
que dire du signe de h ?
Oui enfin j'ai déjà dit que h'(x) est supérieur ou égale à 0 donc je me répèterais.
Du coup h passe par 0 et est croissante
non parce que h' et h c'est pas le même sujet
essaye de comprendre ce qu'on te dit !
et donc, si tu répondais à ma question ?
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