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Niveau seconde
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Arc capable

Posté par
posso49
27-12-16 à 17:39

Bonjour. Je n'arrive pas à répondre à cette question :
Un trapèze isocèle ABCD est inscrit dans un cercle O. Le coté oblique AB est fixe et l'autre mobile. Les diagonales se coupent en M.
Les angles AOB et AMB étant égaux, le lieu géométrique du point M est l'arc capable du segment AB ayant pour angle AOB.
Montrer que la parallèle aux bases passant par M passe par un point fixe I, queIA et IB sont tangents au cercle O et que la tangente en M au cercle AMB est parallèleà CD.
Merci pour votre aide.

Arc capable

Posté par
Priam
re : Arc capable 27-12-16 à 18:08

Tu pourrais t'intéresser à l'angle OMI.

Posté par
posso49
re : Arc capable 12-01-17 à 16:21

Bonjour. Je n'ai toujours pas trouvé la solution à ce problème. Quelqu'un aurait-il une solution? Merci d'avance.

Posté par
lake
re : Arc capable 12-01-17 à 16:59

Bonjour,

Voyons: (OM) est axe de symétrie du trapèze et perpendiculaire à ses bases...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Arc capable 12-01-17 à 17:22

Bonjour

Le point I n'est pas défini par l'énoncé autrement que "un point fixe qu'on aura déterminé quand on aura fait l'exo et pas avant"

et pour déterminer ce point fixe là, à mon avis on ne coupe pas de prouver d'abord que M est sur le cercle circonscrit à ABO !! (cercle qui est fixe)

dans un trapèze isocèle, que peut on dire de l'angle AMB, par rapport à l'angle ADB ?
(somme des angles du triangle)
Arc capable
par conséquent la propriété demandée avec les angles inscrits :
AMB = 2ADB = AOB

ensuite on va montrer que la seconde intersection I (= autre que M) de la fameuse parallèle passant par M avec ce cercle (ABO) est un point fixe car c'est le point diamétralement opposé à O sur ce cercle (ABO) fixe.
par la question de vham : justifier de la valeur de l'angle OMI.
(parce que (OM) est l'axe de symétrie du trapèze, instantané)

les tangentes en A et B sont immédiates (triangles rectangles IBO et IAO inscrits)

la tangente en M nécessite un peu plus d'astuce :
il faut considérer le cas limite d'un angle inscrit quand une des droites est tangente
ceci permet de prouver que l'angle de cette tangente avec BD est égal à l'angle MAB
et comme CAB = CDB, c'est fini.

Posté par
lake
re : Arc capable 12-01-17 à 17:29

Citation :
et pour déterminer ce point fixe là, à mon avis on ne coupe pas de prouver d'abord que M est sur le cercle circonscrit à ABO !! (cercle qui est fixe)


Bonjour mathafou,

Ça, c' est fait par posso49 depuis le début

Posté par
posso49
re : Arc capable 12-01-17 à 17:50

Merci .Ah oui, l'angle OMI est un angle droit et OI le diamètre du cercle, donc I est fixe, mais pour les tangentes?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Arc capable 12-01-17 à 18:11

Citation :
Ça, c'est fait par posso49 depuis le début
ce n'était pas clair que c'était fait.
ça ressemblait à une affirmation sans preuve directement de l'énoncé ou un bout de question sans la question explicitement posée comme une question.


les tangentes : une tangente est par définition une perpendiculaire au rayon en son extrémité.
il faut donc prouver l'angle droit
et pour la dernière j'ai tout dit.

Posté par
posso49
re : Arc capable 12-01-17 à 18:42

Merci à tous. Effectivement, j'étais passé sur la première question, maladroitement, qui était de démontrer l'égalité AMB=AOB.



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