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Arc géométrique et points alignés

Posté par
Narhm 06-03-08 à 21:07

Bonsoir à tous !
J'ai un petit soucis, en faite je ne trouve pas de bonne direction à prendre pour résoudre mon exercice...
Il s'agit d'arc paramétré.
On considère l'arc gamma :\rm x(t)=\frac{t}{1+t^3}, y(t)=\frac{t^2}{1=t^3}.
Je dois montrer que 3 points M1, M2, M3 associés aux valeurs t1,t2,t3, deux à deux distincts du parametre, sont alignés ssi t1t2t3 = -1.

Je commence par ecrire mes vecteurs M2M1 et M3M1 et je voulais montrer que le déterminant des deux vecteurs est nuls ssi t1t2t3=-1, mais je vois pas comment regrouper des termes...

Quelqu'un aurait une idée ?

Merci.

Posté par
Narhmre : Arc géométrique et points alignés 06-03-08 à 21:47

Personne ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Arc géométrique et points alignés 06-03-08 à 23:28

Bonsoir

Voici quelques conseils pour mener à bien tes calculs :

1) Surtout ne pas développer brutalement : c'est la meilleure manière de t'embrouille dans tes calculs insurmontables

2) Remarque que pour tout t, on a y(t)=tx(t)

3) Factorise \Large{x(t_1)-x(t_2))} ainsi que \Large{x(t_1)-x(t_3))} respectivement par \Large{t_1-t_2} et \Large{t_1-t_3}

4) Continue en factorisant \Large{y(t_1)-y(t_2))} et \Large{y(t_1)-y(t_3))} de la même manière en utilisant les factorisations de \Large{x(t_1)-x(t_2))} et \Large{x(t_1)-x(t_3))} (en pensant à la remarque 2)

5) À ce stade, tu ne dois toujours pas développer ton déterminant : les factorisations précédentes te fournissent certains facteurs non nuls (les dénominateurs, \Large{t_1-t_2} et \Large{t_1-t_3}). ceux-ci vont apparaitre sur chaque terme d'une même ligne ou d'une même colonne. Par bilinéarité du déterminant, tu pourras les faire sortir. ces termes étant non nuls, le déterminant de départ sera nul si et seulement le déterminant "simplifié" est nul.

Maintenant, à toi de jouer !

Kaiser

Posté par
Narhmre : Arc géométrique et points alignés 06-03-08 à 23:33

Bonsoir Kaser,
Je vous remercie beaucoup pour toutes ces précisions, je m'y mets demain ^^.
C'est vrai que je suis parti un peu tete baissé cette fois-ci et je n'avais, bêtement, pas vu que y(t)=tx(t)...

Encore merci, je posterai le dénouement plus tard : )

Sur ce bonne nuit!

Posté par
kaiser Moderateurre : Arc géométrique et points alignés 06-03-08 à 23:52

Mais je t'en prie !

Posté par
Narhmre : Arc géométrique et points alignés 09-03-08 à 19:05

Bonjour,
Je reviens sur le sujet un petit coup :
Donc j'obtiens que \rm M_1, M_2, M_3 sont alignes ssi det(\vec{M_1M_2},\vec{M_1 M_3})=0 ssi \large t_3-t_2-{t_1}{3}t_2+{t_1}{3}t_3+{t_1}{4}t_2{t_3}^2-{t_1}{4}{t_2}{2}t_3-t_1{t_2}{2}t_3+t_1t_2{t_3}{2} = 0.
Par contre ici je suis bloqué parce que je ne vois pas comment déboucher sur \large t_1t_2t_3=-1.

Mon déterminant simplifier était de la forme :det(\vec{M_1M_2},\vec{M_1 M_3})=(1-t_2t_1(t_1+t_2))(t_3+t_1-{t_1t_3}{2})-(1-t_3t_1(t_1+t_3))(t_2+t_1-{t_1t_2}{2}).

Auriez vous une aide à me donner s'il vous plait ?

Je vous remercie.

Posté par
kaiser Moderateurre : Arc géométrique et points alignés 09-03-08 à 20:20

Bonsoir

Je te donne quelques résultats intermédiaires pour t'aider à comparer :

\Large{x(t_1)-x(t_2)=\frac{(t_1-t_2)(1-t_1^2t_2^2)}{(1+t_1^3)(1+t_2^3)}}

\Large{x(t_1)-x(t_3)=\frac{(t_1-t_3)(1-t_1^2t_3^2)}{(1+t_1^3)(1+t_3^3)}}


Au début, j'avais simplifié mon déterminant. En effet, au début on a :

\Large{\|\array{x(t_1)-x(t_2) & x(t_1)-x(t_3)\\ t_1x(t_1)-t_2x(t_2) & t_1x(t_1)-t_3x(t_3)}\|}

Ensuite, j'effectue une opération élémentaire sur les lignes : je soustraire la ligne 1 à la ligne 2. J'obtiens :

\Large{\|\array{x(t_1)-x(t_2) & x(t_1)-x(t_3)\\ (t_1-t_2)x(t_2) & (t_1-t_3)x(t_3)}\|}
De là, en explicitant les choses, on s'aperçoit que l'on peut faire sortir tous les dénominateurs ainsi que les facteurs \Large{t_1-t_2} et \Large{t_1-t_3} du dénominateur.

A ce stade, c'est assez simplifié.

Kaiser

Posté par
Narhmre : Arc géométrique et points alignés 09-03-08 à 22:39

Bonjour Kaiser, je vous remercie encore une fois pour votre aide sur cette exercice,
J'aimerais juste attiré l'attention sur un calcul, et peut être est-ce une erreur de ma part mais , je trouve
\Large x(t_2)-x(t_1) = \frac{(t_2-t_1)(1-t_1t_2(t_1+t_2)}{(1+t_1^3)(1+t_2^3)},

Aurais-je fait une erreur ?
Sinon pour le déterminant simplifier, il n'y a pas de problème.
J'obtiens donc ensuite :
\Large \rm det(\vec{M_1M_2},\vec{M_1M_3})=0 ssi t_3-t_2+t_3t_2^2t_1+t_1t_2t_3^2=0.

Par contre je ne vois toujours pas comment réellement conclure.

Posté par
kaiser Moderateurre : Arc géométrique et points alignés 09-03-08 à 22:49

Non, c'est moi qui me suis trompé (en fait, pour tout te dire, je l'avais fait sur mon brouillon, et même refait plusieurs fois et manque de bol j'ai recopié le mauvais résultat, enfin bref).

Sinon, pour la fin : factorise par \Large{t_3-t_2}.

Kaiser

Posté par
Narhmre : Arc géométrique et points alignés 10-03-08 à 14:21

Fiouf !
Par dessus tous ces calcules il est vrai qu'on peut facilement faire des erreurs et j'en ai encore fait une dans ma dernière expression donnée précédemment...
Bref, après une reprise générale, je trouve bien ;
\Large%20\rm%20det(\vec{M_1M_2},\vec{M_1M_3})=0%20ssi%20t_3-t_2-t_3t_2^2t_1+t_1t_2t_3^2=0 \\ssi (t_3-t_2)(1+t_1t_2t_3)=0
et là j'en conclus bien sur le fait que ma CNS est \Large \fbox{\rm t_1t_2t_3=-1}.

Je vous remercie encore grandement pour votre aide sur ce topic^^
Bonne journée à vous !

Posté par
rogerdArc géométrique et points alignés 10-03-08 à 15:23

Il y a une méthode générale pour résoudre des exercices de ce type ("condition d'alignement  de 3 points sur une cubique unicursale"):
On veut traduire que les 3 points sont sur une certaine droite d'équation ax+by+c=0.
On forme l'équation -du 3° degré- qui donne les t des points d'intersections de la courbe et de la droite.
On écrit les 3 relations entre les coefficients et les racines.
On élimine a,b,c (qui sont définis à une constante multiplicative près) entre  les 3 relations. On tombe sur une relation entre t1+t2+t3,t1t2+t1t3+t2t3 et t1t2t3, qui est la condition d'alignement demandée.
Dans l'exemple proposé, l'élimination est immédiate et on tombe sans calcul sur la condition t1t2t3=-1.

Posté par
Narhmre : Arc géométrique et points alignés 10-03-08 à 19:36

Bonjour Rogerd,
Oui oui j'ai aussi vu cette technique qui marche vraiment très simplement, ici en particulier. Mais j'avais besoin de faire cette autre méthode pour user de ce bon vieux déterminant et pour voir les calcules que ça nécessitait...

Je vous remercie beaucoup vous tous.

Bonne soirée !

Posté par
rogerdArc géométrique et points alignés 10-03-08 à 19:58

Bonne soirée à vous aussi!

Posté par
kaiser Moderateurre : Arc géométrique et points alignés 10-03-08 à 20:05

Narhm > pour ma part, je t'en prie ! (bonne soirée à toi aussi)
rogerd > effectivement, cette méthode est plus simple.

Kaiser

Posté par
rogerdArc géométrique et points alignés 10-03-08 à 20:14

Pour Kaiser:

On trouve ça dans les vieux bouquins et cela peut se prolonger en de jolis exercices:
* Trouver le point où la tangente en un point recoupe la courbe.
* Loi de composition sur une cubique;
etc

Posté par
kaiser Moderateurre : Arc géométrique et points alignés 10-03-08 à 20:15

OK, merci !

Kaiser

Posté par
rogerdArc géométrique et points alignés 10-03-08 à 20:17

Pas de quoi!
Bonne soirée!


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