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arc paramétrée + tangente
Salut 
Voici une caractérisation des tangentes bien connue :
Soit une courbe paramétrée.
Si est dérivable en
, et telle que
, alors
admet une tangente en
, dont
est vecteur directeur.
Bon pour le montrer, il faut successivement montrer que :
1) Il existe W voisinage de t_0 dans I tel que, ,
2) Les droites joignant
et
tendent vers la position limite
Bon, pas de problème pour la 1, je l'ai montré en utilisant un DL(1) en de
Ensuite, on pose : qui est directeur de \Delta_t
On voit alors que et on conclut.
Maintenant, si on suppose que f est p fois dérivable et que tandis que
Je serai bien tenté alors par analogie de prendre qui tend vers
Mais est-ce que dans ce cas est bien directeur de
?
Merci pour cette question sûrement "stupide" mais qui me laisse perplexe.
Rebonjour
C'est plus compliqué que ça! fp(t0) est bien un "vecteur tangent" à la courbe. Mais tu peux être dans un cas où la courbe admet un point de rebroussement, et alors on n'a pas vraimebt une droite tangente, mais seulement une demi droite... Regarde f(t)=(t3,t2) à l'origine.
Resalut Camélia,
En tout cas, je dois trouver un vecteur directeur des droites joignant f(t) et f(t_0), et dont la limite soit f^p(t_0)
Comment dois-je le choisir ?
Ah je vois ce que tu veux dire avec les points de rebroussement...
Mais ici on ne traite que le cas des tangentes.
Toutes mes excuses.
n est le premier entier pour lequel la dérivée n'est pas nulle (donc n=p, avec tes notations).
ok rogerd ^^
Deux questions :
1) Comment as-tu trouvé ceci ?
2) Je n'arrive pas à voir vers quoi tend ce quotient...
Merci en tout cas
1)Je ne l'ai pas inventé: c'est dans les méthodes classiques.
2)Avec la formule de Taylor-Young, ce quotient est égal à la dérivée p-ième en t0 + un vecteur qui tend vers 0.
Comme il dirige la droite passant par les points de paramètres t0 et t, on peut conclure.
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