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Niveau seconde
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Archimède et une valeur approchée de pi

Posté par
caroleti
28-09-20 à 18:22

j'ai un DM pour jeudi, j'arrive bien jusqu'à la question 3 car constructionn mais je ne sais pas comment répondre aux questions 4 et 5 . Pouvez vous m'aider, s'il vous plait.

On veut démontrer dans ce devoir que 3 < π < 2, pour cela, on va chercher longueur EB qui est un des 6 côtés de l'hexagone régulier inscrit dans le cercle. Puis la longueur BH qui est la moitié de la longueur d'un des 6 côtés de l'hexagone circonscrit au cercle.

1.Tracer une triangle ABC rectangle isocèle en A tel que AB = 1
(On prendra pour échelle : 1 unité = 5 cm).

2. Tracer le quart de cercle de centre A passant par C et B et placer E tel que ABE soit un triangle isocèle en E inscrit ce cercle.

3. Tracer le triangle ABH tel que (AH) soit la bissectrice de l'angle  et Les droite (BH) et (AC) sont parallèles.

4. a) Montrer que l'angle
b) Montrer que le triangle ABE est isocèle en A
c) En déduire que ABE est équilatéral et que EB = 1.
    d) En déduire le périmètre de l'hexagone inscrit dans le cercle.
5. a) Montrer que le triangle ABH est rectangle en H.
                b) Calculer la valeur exacte de la longueur BH dans le triangle ABH.
                c) En déduire le périmètre de l'hexagone circonscrit au cercle.

6. Quel est le périmètre du cercle

7. En déduire l'encadrement demandé.


Archimède et une valeur approchée de  pi

Posté par
kenavo27
re : Archimède et une valeur approchée de pi 28-09-20 à 18:40

Bonsoir

Citation :
.  4. a) Montrer que l'angle ...????    

Posté par
caroleti
re : Archimède et une valeur approchée de pi 28-09-20 à 18:59

oui il manque une indication, je demande demain à la prof mais pour le reste

Posté par
caroleti
re : Archimède et une valeur approchée de pi 28-09-20 à 20:09

je pense qu'il faut montrer que EAB = 60°

Posté par
kenavo27
re : Archimède et une valeur approchée de pi 29-09-20 à 08:34

Bon j'attends

Posté par
caroleti
re : Archimède et une valeur approchée de pi 29-09-20 à 18:38

On veut démontrer dans ce devoir que 3 < π < 2racine3
4. a) Montrer que l'angle BAE = 60°
b) Montrer que le triangle ABE est isocèle en A
c) En déduire que ABE est équilatéral et que EB = 1.
    d) En déduire le périmètre de l'hexagone inscrit dans le cercle.
5. a) Montrer que le triangle ABH est rectangle en B.
                b) Calculer la valeur exacte de la longueur BH dans le triangle ABH.
                c) En déduire le périmètre de l'hexagone circonscrit au cercle.

6. Quel est le périmètre du cercle

7. En déduire l'encadrement demandé.

Posté par
kenavo27
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 09:34

Que peux tu dire des segments AE, EB et BA?

Posté par
caroleti
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 10:23

qu'ils sont egaux

Posté par
Glapion Moderateur
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 10:56

oui, mais il faut encore le démontrer !

Posté par
caroleti
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 11:29

appartiennent au cercle de centre A

Posté par
kenavo27
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 11:55

L'hexagone régulier isométrique s'inscrit dans un cercle et la longueur de chacun de ses côtés est égal au rayon du cercle circonscrit.

Il est donc constitué de 6 triangles .......................

Posté par
caroleti
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 12:03

équilatéraux

Posté par
kenavo27
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 14:50

Que sais tu des triangles équilatéraux concernant les angles?

Posté par
caroleti
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 15:30

60°, egaux

Posté par
kenavo27
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 15:34

Donc tu peux conclure (après rédaction) que l'angle BAE=....

Posté par
kenavo27
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 15:34

Question b:

Posté par
caroleti
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 16:39

Je ne vois pas comment dire que l'angle est de 60° si on ne démontre pas qu'il est équilatéral or on nous pose la question en c et j'ai déduit q'uil était équilatéral avant la questions, il n"y a pas un autre moyen de trouver 60°

Posté par
kenavo27
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 16:50

OK
Appliquons
Le Théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre
Considérons le point F point d'intersection du cercle et du diamètre passant par A et B
A toi

Posté par
kenavo27
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 17:00

Tu vois?

Posté par
caroleti
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 17:01

non pas du tout

Posté par
caroleti
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 17:03

connait pas et je ne vois pas comment trouver le 60 ° sans démontrer que le triangle est équilatéral. ou sinon je répond à la question a après avoir répondu à b et c

Posté par
kenavo27
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 17:06

L'angle au centre FAE. ntercepte l'arc .. De valeur........degrés

L'arc inscrit FBE (ABE)  intercepte l'arc......

Posté par
kenavo27
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 17:09

Le théorème de l'angle au centre affirme que, dans un cercle, un angle au centre mesure le double d'un angle inscrit interceptant le même arc.

Posté par
caroleti
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 17:10

je ne connait pas ce théoreme, pas appris

Posté par
kenavo27
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 17:13

L'angle au centre FAE. ntercepte l'arc  FE.  De valeur........degrés

L'arc inscrit FBE (ABE)  intercepte l'arc FE

Posté par
caroleti
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 17:14

franchement comme je n'ai pas appris je ne comprends pas, et je ne vois pas où est F

Posté par
kenavo27
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 17:16

Considérons le point F point d'intersection du cercle et du diamètre passant par A et B
Trace la droite AB
Cette droite va couper le cercle en un point que l'on va appeler F

Ok

Posté par
caroleti
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 17:21

Vous croyez que je peux citer la propriété des points d'un cercle que je montre que AC=AE=AB donc le triangle ABE est isocèle en A .
on sait que ABE est isocèle en E et en A alors AE =EB et AE=AB donc AE=EB=AB, on en déduit que le triangle ABE est équilatéral et que AE=EB=AB=1.

Comme le triangle est équilatéral on a l'angle BAE = 180/3=60°

Posté par
kenavo27
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 17:29

L'angle au centre FAE. ntercepte l'arc  FE.  De valeur 120  .degrés

L'arc inscrit FBE (ABE)  intercepte l'arc FE

On sait que : Le théorème de l'angle au centre affirme que, dans un cercle, un angle au centre mesure le double d'un angle inscrit interceptant le même arc.

Donc L'arc inscrit FBE ( ou ABE)   intercepte l'arc FE et vaut donc ........

Et c'est fini.

Posté par
caroleti
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 17:31

je n'arrive pas à tracer F, je dois être bête et ai je le droit de rajouter un point?

Posté par
kenavo27
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 17:36

Tu trace la doite AB

Cette droite va couper le cercle en B et en F ( on aurait pu choisir une autre lettre) point opposé diamétralement à B
Tu as donc un diamètre [FB]

Posté par
caroleti
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 17:38

ok, c'est bon mais comment on sait qu'il fait 120°

Posté par
caroleti
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 17:39

je suis vraiment désolée de vous embeter

Posté par
kenavo27
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 17:48

l'hexagone régulier inscrit dans le cercle.
Donc 6 côtés égaux ' 6 arcs egaus de 60 degrés.
L'arc FE vaut 2 fois 60.degrés donc 120 degrés

Posté par
caroleti
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 17:56

mais pour l'instant on ne sait pas que c'est un hexagone on a tracé qu'un quart de cercle

Posté par
caroleti
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 17:57

car si on sait que c'est hexagone, pas besoin de passer par theoreme

Posté par
kenavo27
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 17:58

Relis l'énoncé

Citation :
.        < π < 2, pour cela, on va chercher longueur EB qui est un des 6 côtés de l'hexagone régulier inscrit dans le cercle.       

Posté par
kenavo27
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 18:02

Je vais devoir stopper bientôt .Batterie faible.

Posté par
caroleti
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 18:04

pourquoi on doit faire le théorème et non dire,
EB est un des 6 côtés de l'hexagone régulier inscrit dans le cercle, on a pas conséquent 6 angles de centre A égaux  360/6=60° et donc BAE = 60°

Posté par
caroleti
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 18:05

on peut faire comme ça? c'est mal rédigé?

Posté par
kenavo27
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 18:12

Ce n'est pas très rigoureux.
L'angle au centre FAE. ntercepte l'arc  FE.  De valeur 120  .degrés

L'arc inscrit FBE (ABE)  intercepte l'arc FE

On sait que : Le théorème de l'angle au centre affirme que, dans un cercle, un angle au centre mesure le double d'un angle inscrit interceptant le même arc.

Donc L'arc inscrit FBE ( ou ABE)   intercepte l'arc FE et vaut donc 120/2 =60°


Ce théorème a été vu en troisième. Le covid l' avalé

Posté par
caroleti
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 19:04

c'est bizarre même en confinement on ne m'en a jamais parlé. et pour les autres réponses  en déduire le périmètre de l'exagone

Posté par
caroleti
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 19:06

la prof ne va pas voir que je ne maitrise pas

Posté par
Glapion Moderateur
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 19:09

ou plus simple (sans le théorème de l'angle au centre), on sait que BAE est isocèle (puisque AB = AE) et BAE = 60°
donc la somme des deux autres angles vaut 160-60 = 120 ° et comme ils sont égaux ils font donc 60° aussi. BAE qui a 3 angles égaux est donc équilatéral.

Posté par
caroleti
re : Archimède et une valeur approchée de pi 30-09-20 à 20:10

on voulait utiliser le théoreme de l'angle inscrit pour trouver BAE = 60°

Posté par
Glapion Moderateur
re : Archimède et une valeur approchée de pi 01-10-20 à 10:28

BAE = 60° c'est immédiat, l'hexagone a 6 cotés et des angles égaux, le total fait 2 radians donc un angle fait
2/6 = /3 radians = 60 °

Posté par
caroleti
re : Archimède et une valeur approchée de pi 01-10-20 à 11:13

vous croyez que je peux marquer pour la question
4.
a)

On sait d'après l'énoncé que EB  est un des 6 côtés de l'hexagone régulier inscrit dans le cercle
Pour un hexagone régulier, les angles au centre interceptant les côtés de l'hexagone mesurent : 360 ÷ 6 = 60°.

Posté par
caroleti
re : Archimède et une valeur approchée de pi 01-10-20 à 11:18

BAE est un angle au centre A du cercle et interceptant le côté EB de l'hexagone inscrit dans le cercle donc BAE = 60°

Posté par
caroleti
re : Archimède et une valeur approchée de pi 01-10-20 à 12:09

et pour montrer que le triangle ABH est rectangle en B? j'utilise les droites parallèles?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Archimède et une valeur approchée de pi 01-10-20 à 13:26

Citation :
On sait d'après l'énoncé que EB est un des 6 côtés de l'hexagone régulier inscrit dans le cercle
Pour un hexagone régulier, les angles au centre interceptant les côtés de l'hexagone mesurent : 360 ÷ 6 = 60°.

oui tu peux.

Citation :
et pour montrer que le triangle ABH est rectangle en B?

Par construction BH est tangente au cercle donc perpendiculaire à AB qui est un rayon.

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