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Arithmétique
Soit p et q appartenant à N*.
S = 1+2^p+2^(2p)+2^(3p)+....+2^(p*(q-1))
1. Trouver une autre écriture de S.
2. En déduire que le reste de la division euclidienne
de 2^(p*q) par 2^p -1 est 1.
3. Démontrer 2^(pq)-1 est divisible par
2^p-1 et 2^q-1.
En déduire que si le nombre 2^n-1 est premier, alors n est premier.
La réciproque est elle vraie ?
Rq : les nombres premiers de la forme 2^n-1 sont appelés nombres de
MERSENNE.
En posant 2^p = x
S = 1+x+(x^2)+(x^3)+...+(x^(q-1))
on reconnait la série géométrique bien connue.
Petit coup de pouce.
S = 1+2^p+2^(2p)+2^(3p)+....+2^(p*(q-1)) (1)
En posant 2^p = x, on a:
S = 1 + x + x² + x³ + . . . x^(q-1)
S est la somme de q termes en progression géométrique dont la raison
est x et le premier terme = 1.
-> S = [(x^q)-1]/[(2^p) -1]
S = [(2^pq)-1]/[(2^p) -1] (2)
Qui est une autre écriture de S.
P
Une fausse manoeuvre, a envoyé ma réponse précédente, voila un peu
développé et sans relecture.
Petit coup de pouce.
S = 1+2^p+2^(2p)+2^(3p)+....+2^(p*(q-1)) (1)
En posant 2^p = x, on a:
S = 1 + x + x² + x³ + . . . x^(q-1)
S est la somme de q termes en progression géométrique dont la raison
est x et le premier terme = 1.
-> S = [(x^q)-1]/[(2^p) -1]
S = [(2^pq)-1]/[(2^p) -1] (2)
Qui est une autre écriture de S.
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Par (1), on sait que S en dans N*puisque chaque terme de la somme dans
le second membre est dans N*
(2) ->
(2^pq)-1 = S.[(2^p)-1]
(2^pq) = S.[(2^p)-1] + 1
Comme S est dans N*, le reste de la division de (2^pq) par [(2^p)-1] est
donc 1.
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(2): S = [(2^pq)-1]/[(2^p) -1]
Comme S est dans N, on peut dire que [(2^pq)-1] est divisible par [(2^p)
-1]
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. . .
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