Bonjour,

euh .. les relations de Bézout en collège ???

question a :
l'algorithme d'Euclide ne fournit pas seulement le PGCD mais aussi une solution de 7644x + 7410y = ce PGCD

une façon d'obtenir ces valeurs de x et y est de "remonter" l'algorithme à partir de la fin
en effet la dernière division de l'algorithme a = bq + 78 donne en fait une solution de ax + by = 78 x = 1 et y = -q !!

en remontant de proche en proche et en remplaçant au fur et à mesure les a et b par leurs valeurs extraites des divisions d'avant, le tour est joué. (à condition de bien voir ce qu'on cherche et de ne pas effectuer numériquement des opérations qu'il faut garder "non développées")


une fois qu'on a une solution de 7644x + 7410y = 78
les solutions de 7644x + 7410y = 78k s'en déduisent par multiplication par k

pourquoi parlais-je de relation de Bézout ??
parce que si p est le PGCD de a et b, alors il existe des entiers relatifs x et y tels que ax+by = p
(théorème de Bézout)

qui est loin d'être vu en collège (vu en Terminale, spé maths il me semble)

salut

rédige nous la réponse a) ....

salut

avec ton pgcd de 7644 et 7410  = 78 tu peux simplifier  7644x + 7410y =312
en ecrivant  78*(95x + 93y) =78*4  soit  95x+ 93y = 4

si tu veux utiliser les modulo tu peux ecrire que  95 = 2[93]  soit 95x = 2x[93]
et comme  93=0[93]  alors 93y =0[93]  , en addtionnant le tout , on obtient
4 = 2x[93]  soit  2x = 4[93]  en pensant que  94= 1[93] , alors  2x = 4[93]  devient
2*47*x = 4*47[97]  soit   94x=188[93]   soit 94x=2[93]   mais comme on a toujours
94= 1[93]   , on a aussi la possibilité d'ecrire que  94x=x[93]
on a donc deux equations 94x=x[93]  et 94x=2[93]  qui permettent d'aboutir à
x=2[93]  soit x = 93k+2   tu peux donc prendre x = 2 en posant k=0
pour avoir une valeur de x  et puis en deduire y , ...c'est pas forcement la methode la plus esthétique...

Bonjour  ,
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