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arithmétique aidez moi svp juste une petite question
1/ on sait que (x^k) -1=(x-1)(x^(k-1)+x^(k-2)+.....+x+1) cela a
été a démontré ds une question précédente ms après je bloque qur
cette question :
soit A un entier positif et b un entier strictement positif. on suppose
qu'il existe un entier naturel n tel que b divise (a^n) -1
on découpe l'écriture de A en tranches de n chiffres a partir de
la droite, la tranche la plus a gauche pouvant avoir moins de n chiffres
on peut donc écrire A=Ao+(A1.a^n)+(A2.a^2n)+....+(Ap.a^np)
ainsi le nombre 1234567890 peut sécrire 7890+3456.10^4+12.10^(2*4)
montrere après avoir transformé l'expression de A et en utilisant le
1/ que b divise A si et seulement si b divise Ao+A+...Ap
remarquons dabord que a^np - 1=(a^n)^p-1
donc a^np-1=(a^n-1)((a^n)^(p-1)+...+1)
( on applique le 1) à x=a^n et k=p)
ainsi, si b divise a^n - 1 , alors b divise a^np-1
(propiété :" si p divise q, alors p divise kq")
Or on peut écrire
Ao+A1.a^n+A2.a^2n+....+Ap.a^np=
Ao+A1(a^n-1)+A2(a^2n-1)+....+Ap(a^np-1) +A1+A2+....+Ap
(un peu "tordu" mais ça marche, on enlève et ajoute les A1..Ap)
soit
Ao+A1.a^n+A2.a^2n+....+Ap.a^np=
A1(a^n-1)+A2(a^2n-1)+....+Ap(a^np-1) +Ao +A1+A2+....+Ap
( on replace Ao à côté des autres tout simplement ici )
mais b divise a^np-1
donc b divise A1(a^n-1)+A2(a^2n-1)+....+Ap(a^np-1)
ainsi b divise Ao+A1.a^n+A2.a^2n+....+Ap.a^np
si et ssi b divise Ao +A1+A2+....+Ap
remarque : si tu as vu les congruences autre démonstration :
puisque b divise alors a^n - 1 ,
alors a^n - 1 est congru à 0 modulo b
soit a^n congru à 1 [b ]
donc aussi (a^n)^p congru à 1 [b ]
c'est à dire a^np congru à 1 [b ]
donc Ao+(A1.a^n)+(A2.a^2n)+....+(Ap.a^np) congru à
Ao+A1+A2+....+Ap [ b]
ainsi b divise A si et ssi b divise Ao+A1+A2+....+Ap
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