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arithmetique des polynomes
Bonjour à tous.
Si vous aimez l'arithmétique des polynomes et que vous avez un bon coeur, vous m'aiderez dans cet exercice sur lequel je n'arrive pas du tout à démarrer:
" Soit A un polynome de Q[X] irréductible sur Q[X]. Montrer que toutes les racines complexes de A sont simples. "
Nous n'avons aucune indication supplémentaire.
Merci de votre sollicitude.
Salut
A et A' sont premiers entre eux. Il existe donc P et Q dans Q[X] tels que PA+QA'=1
Ainsi A et A' n'ont aucune racine commune dans C et A n'admet donc pas de racine double sur C.
Bonjour.
Je suis désolé de poser la question suivante qui doit vous sembler triviale mais... comment sait-on que A et A' sont premiers entre eux
A est irréductible sur Q donc A' est non nul. De plus deg(A) < Deg(A') d'où le fait que A et A' soient premiers entre eux.
A est irréductible sur Q donc A' est non nul.
irréductible implique non constant?
et je ne comprends pas d'ou vient que
deg(A) < Deg(A')
(merci de votre aide et de votre attention)
Un polynôme irréductible est un polynôme non constant et qui n'admet pour diviseurs que les polynômes constants et ses multiples.
Evidement tu auras corrigé, c'est deg(A') < deg(A)
Mais si A est de degré 1, A' est constant donc A/A' non ?( vous l'aurez certainement compris, nous venons à peine de commencer ce cours
)
Bonjour,
Nightmare étant déconnecté, je me permets de prendre la relève.
Imagine que A et A' ne soient pas premiers entre eux, ils auraient alors un facteur commun non constant F.
F divise A' donc deg(F) est inférieur à deg(A'), et donc strictement inférieur à deg(A).
F serait alors un diviseur de A, non constant et différent de A, ce qui contredirait l'irréductibilité de A.
Pour ton autre question, oui irréductible implique non constant (en tout cas si les polynômes sont à coefficients dans un corps), car par définition, un élément irréductible doit être non inversible.
Bonsoir! MERCIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII infiniment Tigweg :D:D
mais ne peut t on conclure directement juste apres
ils auraient alors un facteur commun non constant F.
Et par rapport au corps de base, on aurait pu remplacer Q par R ?
Avec plaisir Oscar.
mais ne peut t on conclure directement juste apres "ils auraient alors un facteur commun non constant F".
-> non car ce facteur pourrait être A a priori, or pour obtenir une contradiction, il faut trouver un diviseur de A autre que lui-même et qu'une constante.
Pour que F soit un diviseur propre de A, il faut donc insister sur son degré et montrer qu'il est strictement compris entre 0 et deg(A).
Et par rapport au corps de base, on aurait pu remplacer Q par R ?
->Oui, tout-à-fait!
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