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arithmetique ; divisibilité dans z
salut
Soit n un entier naturel:
1- Determiner pour tout entier n de {0,1,..,6} le reste modulo 7 de 3n
2- Montrer que 3^n+6 -3^n est divisible par 7
3-a- Calculer le reste modulo 7 de 3^1000
b- Quelle est le chiffre des unités de 3^1000?
c- Soit c la somme des chiffres du nombre 3^1000.
Quel est le reste modulo 7
je bloque sur la question 3-c
de l'aide s'il vous plait merci
Soit n un entier naturel:
1- Determiner pour tout entier n de {0,1,..,6} le reste modulo 7 de 3^(n)
2- Montrer que 3^(n+6) - 3^(n) est divisible par 7
3-a- Calculer le reste modulo 7 de 3^(1000)
b- Quelle est le chiffre des unités de 3^(1000)?
c- Soit c la somme des chiffres du nombre 3^(1000).
Quel est le reste modulo 7 de c
3-a j'ai repondu que
3^(1000) = 3^(6*166) + 3^(4) = (3^(6))^(166) * 3^(4) congru a 1^166 * 4 (modulo 7 )
alors le reste mod 7 de 3^(1000) est 4
3-b j'ai repondu que
3^(4) = 81 congru a 1 (modulo 10 )
(3^(4))^250 congru a 1^(250) (modulo 10)
alors 3^(1000) congru a 1 (modulo 10 )
donc le chiffre des unités de 3^(1000) est 1
salut
1) il suffit de remarquer que 3^(n+6) -3^n = 3^n .( 3^6 - 1)
or 3^6 - 1 =0[7] donc 3^n .( 3^6 - 1) =0[7] donc 7 divise 3^(n+6) -3^n
Est tu sur de l'enonce de ta derniere question car en faisant le reste modulo 7 de la somme des chiffres de 3^n pour n allant de 1 a 20, je ne trouve aucune logique.
Difficile d'etendre le calcul jusqua 1000
re... pour 3^1000 il suffit de poser que 1000 = 6*166 + 4
3^(6*166 + 4 )= (3^6)^166 *3^4 comme 3^6 = 1[7] alors (3^6)^166 =1[7]
et (3^6)^166 *3^4 = 3^4[7] comme 3^4= 4[7] alors 3^1000 = 4[7] le reste est donc 4
merci pour vos réponses mais c'est la question 3-c qui me pose probleme
désolé j'ai fait une faute la question
3-c dit : soit c la somme DES DIVISEURS du nombre 3^1000 . quel est le reste modulo 7 de c
Bonjour,
Ah, ça change tout!
Les diviseurs:
La somme de ces diviseurs est
avec
nécessairement pair donc
3^1000 est deja decompose sous la forme d'un produit de facteur premiers.
Donc tous les diviseurs de 3^1000 sont de la forme 3^n.
Donc tu cherches a calculer modulo 7
Il afut que tu decomposes ta somme de la maniere suivantes:
puissances dont tu connais le reste modulo 7.
Par exemple dans le cas de 3^17
Soit modulo 7:
0[7]
Dans ton cas, la somme risque de ne pas tomber juste et tu vas surement devoir rajouter artificiellement des puissances de 3.
Bon courage.
En fait la repones de Lake est beaucoup plus joli et facile que la mienne.
Merci a toi Lake (J'ai meme pas remarque que c'etait la somme des termes d'une suite geometrique)
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