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Arithmétique division euclidienne

Posté par ntesenforce (invité) 06-11-05 à 11:52

Bonjour à tous

J'ai eu un exercice à faire il y a longtemps qu'on à déjà corrigé mais je ne comprend toujours pas!
Merci de m'expliquer

a est un entier naturel, a1 et A=[a^2+(a+1)^2]^2
Objectif : Prouver que le reste de la division euclidienne de A par 4a^2 est (2a-1)^2.

Tout d'abord j'ai développé l'expression A
donc A=4a^4-8a^3+8a^2-4a+1
ENsuite j'ai fait la division euclidienne de cette expression par 4a^2 et je trouve comme reste -4a+1 et pas (2a-1)^2.
Donc ça je comprend pas

J'ai beau refaire l'exo toujours le même problème.

Merci de m'expliquer comment faire

Posté par goupi1 (invité)division euclidienne 06-11-05 à 11:57

Bonjour,
tu t'es trompé dans ton développement. On ne peut pas avoir moins a au cube car on a que des + dans A !

Posté par ntesenforce (invité)re : Arithmétique division euclidienne 06-11-05 à 11:58

Oups pardon j'ai mal écrit A
A=[a^2+(a-1)^2]^2

Posté par
lyonnaisre : Arithmétique division euclidienne 06-11-05 à 11:59

salut :

Déjà, moi quand je développe A , je trouve :

4a^4+8a^3+8a^2+4a+1

sauf erreurs ...
romain

Posté par Frip44 (invité)re : Arithmétique division euclidienne 06-11-05 à 11:59

Salut Steven...

A=[a^2+(a+1)^2]^2
A=[a^2+a^2+2a+1]^2
A=[2a^2+2a+1]^2
A=(2a^2+2a+1)(2a^2+2a+1)
A=4a^4+4a^2+2a^2+4a^3+4a^2+2a+2a^2+2a+1
A=4a^4+4a^3+12a^2+4a+1
A=4a^4+4a^3+8a^2+4a^2-8a+12a+1
A=4a^4+4a^3+8a^2+12a+4a^2-8a+1
A=4a^2(a^2+a+2)+(2a-1)^2

Ensuite, avec les conditions sur a, tu démontres que 0\le (2a-1)^2<4a^2

Sauf étouderie...

++
(^_^(Fripounet)^_^)

Posté par Frip44 (invité)re : Arithmétique division euclidienne 06-11-05 à 12:00

Oups, erreur dû au (a-1)^2

Posté par Frip44 (invité)re : Arithmétique division euclidienne 06-11-05 à 12:00

Je recommence !

Posté par
lyonnaisre : Arithmétique division euclidienne 06-11-05 à 12:00

Dans ce cas là, je suis d'accord avec ton développement !

romain

Posté par giordano (invité)re : Arithmétique division euclidienne 06-11-05 à 12:02

Bonjour,
-4a + 1 est négatif et ne peut pas être un reste.
Tu as trouvé A = 4a²q - 4a + 1,
cela s'écrit aussi : A = 4a²(q-1) + 4a² - 4a + 1.
Tu remarques alors une identité, puisqu'elle est remarquable.
Il te restera à montrer que (2a - 1)² est inférieur à 4a² pour être sur
qu'il s'agit du reste.

Posté par ntesenforce (invité)re : Arithmétique division euclidienne 06-11-05 à 12:02

Désolé frip et lyonnais

Posté par Frip44 (invité)re : Arithmétique division euclidienne 06-11-05 à 12:03

A=[a^2+(a-1)^2]^2
A=[a^2+a^2-2a+1]^2
A=(a^2+a^2-2a+1)(a^2+a^2-2a+1)
A=(2a^2-2a+1)(2a^2-2a+1)
A=4a^4-4a^3+2a^2-4a^3+4a^2-2a+2a^2-2a+1
A=4a^4-8a^3+8a^2-4a+1
A=4a^4-8a^3+4a^2+4a^2-4a+1
A=4a^2(a^2-2a+1)+(2a-1)^2

Posté par Frip44 (invité)re : Arithmétique division euclidienne 06-11-05 à 12:03

Et ensuite avec les conditions sur a etc...

Posté par ntesenforce (invité)re : Arithmétique division euclidienne 06-11-05 à 12:03

Tu as trouvé A = 4a²q - 4a + 1,
Je comprend pas ou j'ai trouver cela
Merci pour l'aide sur le reste négatif j'avais pas capté

Posté par ntesenforce (invité)re : Arithmétique division euclidienne 06-11-05 à 12:04

ok ensuite il suffisait de factoriser
Merci frip!
Et merci giordano!

Posté par Frip44 (invité)re : Arithmétique division euclidienne 06-11-05 à 12:06

Np


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